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GCONAIP®

C o leg io Nacional de Integración Profesional


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DIRECTORIO


Sergio Arturo López Porcayo

Director de Educación Media Superior de CONAIP


Alma Coria Oropeza

Directora General IMPE / Colaboración especial


Yazmin Dimas Uribe

Coordinadora Académica


Primera edición: 2019.

Derechos reservados conforme a la ley 2019.

Esta obra es propiedad del Colegio Nacional de Integración Profesional. Impreso en México.

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PRESENTACIÓN GENERAL


La guía de estudio que se presenta a continuación por el Colegio Nacional de Integración Profesional, surge a fin de contar con materiales impresos/digitales, que permitan el fortaleciendo y orientación de los conocimientos, competencia y habilidades que giran en torno a los diversos campos del saber, y en específico del análisis conceptual, y didáctico de los 5 módulos temáticos comprendidos en el marco curricular común de la EMS; Comunicación, Ciencias sociales, Humanidades, Matemáticas y Ciencias experimentales, que se han adquirido de forma autodidacta o mediante la experiencia.

1

Todo ello, con el propósito de guiar la presentar el examen acuerdo secretaría 286 y el diverso 02/04/2017, en los centros que cuenten con la certificación de Sede Evaluadora.

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ÍNDICE

PRESENTACIÓN GENERAL 1

ÍNDICE 2

CRONOGRAMA DE MÓDULOS 4

PLANIFICACIÓN DIDÁCTICA 5

PRESENTACIÓN DEL MÓDULO 6

OBJETIVO GENERAL 7

primera unidad ARITMÉTICA 8

    1. Operaciones aritméticas básicas 9

    2. Operaciones aritméticas básicas que involucran números con signo 13

    3. Potencias 17

    4. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 20

    5. Operaciones básicas con fracciones 28

    6. Razones, proporciones, porcentajes y regla de tres 34

    7. Patrones en sucesiones 44

    8. Representaciones espaciales de figuras y objetos 46

segunda unidad ÁLGEBRA 47

    1. Lenguaje algebraico 48

    2. Operaciones básicas con monomios y polinomios 53

    3. Operaciones algebraicas utilizando las reglas de los productos notables 61

    4. Ecuaciones de primer grado con una incógnita 64

    5. Ecuaciones de segundo grado. 68

    6. Ecuaciones de dos incógnitas 73

tercera unidad GEOMETRÍA ANALÍTICA 78

    1. Puntos en el plano cartesiano. 79

    2. Coordenadas de puntos que dividen segmentos a la mitad (punto medio) 83

    3. Distancia entre dos puntos a partir de su ubicación en el plano cartesiano. 85

    4. Comprender y representar gráficamente relaciones 88

    5. Comprensión y representación gráfica de funciones 90

    6. Ecuación de la línea recta 95

      2

    7. Ecuación dados dos puntos 101

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    8. Ecuación dada su pendiente y uno de sus puntos 104

    9. Graficar una línea recta en un plano cartesiano. 106

cuarta unidad TRIGONOMETRÍA 110

    1. Problemas de triángulos semejantes 111

    2. Diferentes tipos de ángulos 114

    3. Ángulos 118

    4. Conversión de grados a radianes y viceversa 121

    5. Teorema de Pitágoras 123

    6. Razones trigonométricas 126

    7. Ley de Senos 130

    8. Ley de Cosenos 134

quinta unidad PROBABILIDAD y ESTADÍSTICA 137

    1. Tablas y gráficas 138

    2. Medidas de tendencia central para datos no agrupados 139

    3. Tendencia central Variabilidad: rango. 142

    4. Medidas de posición para datos no agrupados 143

    5. Cuartiles, deciles y percentiles 144

    6. Medidas de posición. 147

    7. Rango intercuartílico. 149

    8. Conceptos básicos de probabilidad y probabilidad de eventos simples 151

    9. Técnicas básicas de conteo a problemas simples 154

    10. Regla del producto y regla de la suma 156

Formularios 159

Solución de actividades de aprendizaje 167

REFERENCIAS 193

3

Bibliografía 193

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CRONOGRAMA DE MÓDULOS


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Nos encontramos aquí

I.

Comunicación

II.

Humanidades

III.

Ciencias Sociales

IV.

Matemáticas

V.

Ciencias

Experimentales


Módulos



Módulo IV.

4

MATEMÁTICAS



UNIDADES

Unidad 1.

Aritmética

Unidad 2.

Álgebra

Unidad 3.

Geometría Analítica

Unidad 4.

Trigonometría

Unidad 5.

Probabilidad y Estadística

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PLANIFICACIÓN DIDÁCTICA


Te presentamos a continuación la guía de estudio, que te servirá como base en el estudio del módulo temático “Matemáticas”, funcionará como orientación en tu proceso de Enseñanza- Aprendizaje, ya que presenta la información de manera accesible y específica, los conocimientos que se deben adquirir para la evaluación teórica del Acuerdo Secretarial 286 de la Secretaria de Educación Pública.

Además propicia la adquisición y construcción de nuevos conocimientos, habilidades y actitudes, mismas, que te permitirán el acceso a la actividad académica, laboral y social.

5

Cuenta con la presentación del módulo temático, unidades, temas y subtemas, explicación integradora, actividades de aprendizaje, formulario, que te permitirá llevar tu estudio de forma ordena y progresiva.

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PRESENTACIÓN DEL MÓDULO


Descubrir la utilidad de las matemáticas es tan antiguo como los símbolos primitivos, desde marcas en las piedras, troncos, etc. hasta el sistema numérico, maya, egipcio, romano. Por lo que se refiere a la exactitud, de cuándo surgió la necesidad de operar con números, expresar cantidades, de la misma forma que las palabras expresan objetos y/o ideas, se desconocen los tiempos, sin embargo hoy sabemos qué disciplinas científicas, actividades de la vida cotidiana: aprobar un examen, corroborar la nómina de un empleo, compras y pagos de servicios, adquirir un vehículo, viajar, la información que se presenta en los medios de comunicación, estados financieros, estadísticas de cualquier fenómeno, son aspectos primordiales, por citar algunos ejemplos.

Es así que, reflexionar lo anterior nos introduce al desarrollo de algunos, métodos, procedimientos, fórmulas, algoritmos que facilitan la resolución de problemas, la interpretación de información en tablas, gráficas, mapas, el reconocimiento de un determinado lugar geométrico, la medición de distancias, la recolección, organización y presentación de análisis de datos.

6

A continuación encontrarás, en esta guía, con base en las experiencias que tienes sobre el conocimiento anterior descrito, métodos, técnicas y procedimientos que facilitan la solución de problemas reales cotidianos, a través del estudio y la interpretación de la aritmética, el álgebra, la geometría analítica, la trigonometría y, la probabilidad y estadística Éxito en esta andanza en la construcción de tú aprendizaje.

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OBJETIVO GENERAL


7

Al finalizar el módulo, el estudiante realizará, aplicará y resolverá operaciones aritméticas básicas y algebraicas, calculará e identificará a la geometría analítica y su relación con la trigonometría, a su vez, podrá conceptualizar, calcular e interpretar tablas, gráficas, medidas y rangos mediante la probabilidad y estadística. Podrá comprender y representar su utilidad en la solución de problemas cotidianos.

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PRIMERA UNIDAD ARITMÉTICA


Módulo IV. MATEMÁTICAS

Asignaturas

UNIDADES

Unidad 1.

Aritmética

Unidad 2.

Álgebra

Unidad 3.

Geometría Analítica

Unidad 4.

Trigonometría

Unidad 5.

Probabilidad y Estadística


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Nos encontramos aquí


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Objetivo específico


Al finalizar la unidad, el estudiante realizará operaciones aritméticas básicas y con fracciones, calculará el mínimo común múltiplo y máximo común divisor, efectuará operaciones que involucren números con signo, resolverá problemas que comprendan porcentajes, proporciones y reglas de tres, encriptará palabras y mensajes, reconocerá patrones de sucesiones e identificará representaciones espaciales de figuras y objetos. Asimismo aplicará el razonamiento aritmético a problemas cotidianos y laborales.

¿Qué vas a aprender? image


8

En aritmética aprenderás a realizar operaciones como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y radicaciones, las cuales te apoyarán para calcular gastos, calcular porcentajes de descuentos, impuestos e intereses, organizar tus ingresos y egresos en la vida cotidiana. Administrar tus tiempos en el trabajo, en la escuela, con la familia, mismos que te permitirán optimizar tus actividades.


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Explicación integradora

    1. Operaciones aritméticas básicas


      En el siguiente tema abordaremos las operaciones aritméticas básicas. Recordemos que una suma se refiere a agrupar y contar el total de cantidades, la cantidad de veces que suma un número con respecto a otro nos indica que es una multiplicación, las veces que cabe un número con respecto al otro, se llama división, la potenciación es el número de veces que un número se multiplica por sí mismo, y la radicación encuentra un número que multiplicado cierta cantidad de veces por sí mismo nos da el número que se encuentra dentro de la raíz de agrupación como lo son, el paréntesis, los corchetes y las llaves.

      Por otro lado, también encontramos que los símbolos tienen operaciones aritméticas cuyo resultado, normalmente se multiplica por lo que existe fuera de ellos, es decir, si no existe ningún signo de suma, resta o división, indican multiplicación.

      9

      A continuación se encuentra la jerarquía de operaciones (orden en qué se debe realizar las operaciones):

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      1. Símbolos de agrupación en el siguiente orden:


        1. Paréntesis ( )


        2. Corchetes [ ]


        3. Llaves { }


      2. Potencias y raíces.


        • Potencia: La base multiplicada por sí misma, el número de veces que indica el exponente.

        • Raíz: número que al ser multiplicado por sí mismo, nos da el valor que está dentro de la raíz.

      3. Multiplicaciones y divisiones.


      4. Sumas y restas.


        Para comprender dichas operaciones es necesario, observar el siguiente ejemplo:


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        10

        (7){52 + 3[40 ÷ 8 + 12(√25 + 4)]}


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        Solución


        Se resuelve lo que hay dentro de los signos de agrupación de mayor prioridad, es decir, paréntesis.

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        En este caso, en el paréntesis está la expresión √𝟐𝟓 + 𝟒, en la que, a su vez, tiene que respetarse la jerarquía de operaciones, es decir, para poder sumar ambos términos, es necesario primero calcular la raíz cuadrada de 25. También podemos observar que hay expresiones individuales que se pueden resolver, como 52 y 𝟒𝟎 ÷ 𝟖, cuyos resultados no afectan al conjunto de operaciones:

        (7){𝟐𝟓 + 3[𝟓 + 12(𝟓 + 4)]}


        Ya que dentro del paréntesis no quedó ninguna operación de mayor jerarquía más que 5+4, se resuelve:

        (7){25 + 3[5 + 12(𝟗)]}


        Para eliminar por completo el paréntesis, se resuelve la multiplicación de 12(9):

        (7){25 + 3[5 + 𝟏𝟎𝟖]}


        Se procede a resolver lo que hay dentro de los corchetes, en este caso sólo es una suma:

        5+108:

        (7){25 + 3[𝟏𝟏𝟑]}


        Ya que entre el 3 y el 113 que está dentro del corchete, se realiza la multiplicación:


        (7){25 + 𝟑𝟑𝟗}


        Se procede a sumar 25+339:


        (7){𝟑𝟔𝟒}


        Para terminar, se multiplica el número de afuera (7) por lo que queda dentro del corchete:


        11

        2,548

        12

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        Actividad de aprendizaje U1-A1

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        Ejercicio 1:

        Marino está calculando la nómina semanal. Tiene tres empleados cuyo salario diario es el siguiente:

        En la semana Apolinar sólo trabajó 5 días, Erik trabajó 3 y Graciela trabajó la semana completa (seis días).


        ¿Cuál es el monto total de la nómina de esta semana?

        a) $ 2850.00 b) $ 2750.00 c) $ 2860.00 d) $ 3050.00

        Notas













        Observaciones académicas


        • Apolinar: $ 180.00

        • Erik: $ 150.00

        • Graciela: $ 250.00


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        Explicación integradora

    2. Operaciones aritméticas básicas que involucran números con signo


      En la actualidad para resolver problemas mediante procedimientos aritméticos sobre fenómenos cotidianos, es indispensable tener en cuenta las reglas básicas y leyes de los signos, así mismo, el uso concreto y la comprobación de estas en la calculadora.

      Este tema comienza estableciendo cómo se manejan los signos de acuerdo al tipo de operación a resolver, teniendo 2 números:


      1. Para suma y resta


        Suma con dos números positivos


        Regla: Para sumar dos números positivos, se realiza la suma aritmética de los valores absolutos de ambos números. Así tenemos:


        4+2= 6


        https://lh6.googleusercontent.com/XnmWNwfOK6QZbN7BuRPl7Za-74vgZOS7LstF72MuTQj-hUuxtX5ShoILy4NwkN_8l9FryZN6Icy-uUmj8F9hvKyXrnnfQxmYmIOnrMkWbDAks0ELIiZge9CYgfzMqmzzl-owGz39

        Suma de dos números negativos


        Regla: Para sumar dos números negativos, se realiza la suma aritmética de los valores absolutos de ambos, y al resultado obtenido se le antepone el signo menos (-). Así tenemos:

        (-2)+(-4)= 2+4 = -6


        https://lh6.googleusercontent.com/mo8IAnzpwAwI6wQN9D9DM0LoFfr4D-wpyUeWoDUMIffODg_PAbaBE5nl7YehwZCw7tqEP_HB2g06Qg1pnQLq5SKHU-TTCLdMwnQLNt5-tf6EiBBMf-LKHj6ookA8zalypX7creLX


        Suma de un número positivo y otro negativo


        13

        Regla: Para sumar un número positivo y un número negativo, se realiza la resta aritmética del valor absoluto de ambos números y al resultado obtenido se le antepone el signo del número mayor.

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        Cuando los dos números tienen igual valor absoluto y signos distintos, el resultado es cero. No se pone signo.


        (6) + (-2)= 4


        (-6) + (2)= -4


        (-6) + (6)= 0


        (6) + (-6)= 0


        Representación gráfica:


        Suma de un número positivo y un número negativo


        https://lh6.googleusercontent.com/E_Gknac392G91eNrcqtEmjW0XiZg8SpAsuJpPCXuJF3yMaaU6cWFsgcu0ihlYCYpEhEdqEkwnM3M4kx_9u3qOLc8LpgW5QKabKV5lvvbbYSkpTzFkE48nPMa-CdckXybPAgsK5fd


        Suma de un número negativo y un número positivo


        https://lh4.googleusercontent.com/xIA60IErMlGDKqAAWGmtirWsvYlNlFBaoN_CTk3-ZfQII8m1x7b9YiXl2htDCHRg7pMoHai1pGes6p6Iwv9KYzY-S0a5EQ-kRMW00tNpSmTlDR_oMcIB6UFo6ehvec9Pfso3n9v8


        Suma de un número positivo y un número negativo, en los que el valor absoluto es igual.


        https://lh5.googleusercontent.com/1OK3gNoFMU_Mu5VokCKCMI9Lm8cnLeCpHeCSsfalQBcoL89UKL-3VlNJbqojNjQ4wXNsilJ_SZ9zZk6D2Cozofww_tlG78NuFQdUciaePRp3kKzFxnLqBRufvmNeb_XFEtkTBnzS


        Suma de cero y un número positivo o negativo.


        Regla: La suma de cero con cualquier número positivo o negativo, nos dará como resultado el mismo número positivo o negativo.

        14

        En general:

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        a+0= 0+a= a Ejemplos:

        0+5= 5


        -4+0= -4


      2. Para multiplicación y división


      Se utiliza la Ley de los Signos:

      ( + ) ( + ) = + Dos números positivos al multiplicarse o dividirse su resultado es positivo.

      ( - ) ( - ) = + Dos números negativos al multiplicarse o dividirse su resultado es positivo.

      ( + ) ( - ) = - Al multiplicarse o dividirse un número positivo y un número negativo, su resultado es negativo.

      ( - ) ( + ) = - Al multiplicarse o dividirse un número negativo y un número positivo, su resultado es negativo.


      Ejemplo:


      (10) (5) = 50 ó +50 , (20) ÷ (4) = 5

      (-10) (-3)= +60 ó 60 , (-9) ÷(-3) = 3

      (+8) (-4) = -32 , (12) ÷ (-2)= -6

      (-36) (9) = -4 ,(-100) ÷ (5)= -20


      Nota: La multiplicación también se puede representar de la siguiente forma:

      -Colocando paréntesis a ambos números: (4) (5)

      15

      -Colocando solo un paréntesis a uno de los números: 4 (5), (4) 5

      16

      Actividad de aprendizaje U1-A2

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      Ejercicio 1:


      La profesora Gabriela entregó a sus alumnos un paquete de fotocopias que conforman una guía rápida de conjugación de verbos. El paquete está conformado por 14 fotocopias, y cada fotocopia le cuesta $0.25. Si su grupo es de 25 alumnos y sólo le pagaron las copias 18 de ellos ¿Cuánto dinero le falta a la profesora para completar el dinero que gastó?

      a) $20.50


      b) $45.00


      c) $24.50


      d) $30.00



















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      Explicación integradora

    3. Potencias


      En matemáticas, representar en forma abreviada la multiplicación de factores iguales se llama potenciación.


      Si a es un numero cualquiera y n>1, tendremos que 𝑎𝑛, se lee a elevado a la enésima potencia.



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      Exponente

      En una operación de potenciación, intervienen los siguientes elementos:


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      Base

      𝑎𝑛= x


      17

      Llamamos potencia al producto x, base al número que tomamos como factor a, y exponente a n, que nos indica las veces que debemos tomar como factor a a.


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      1.- Producto de dos potencias de la misma base Regla:

      Para multiplicar potencias con igual base (distinta de cero), se mantiene la base, pero elevada a la potencia que resulte de la suma de sus exponentes.

      Ejemplo:



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      2.- Potencia de una potencia Regla:

      La potencia de otra potencia con base distinta de cero, es igual a una potencia con esa misma base, pero elevada al producto (multiplicación) de los exponentes.

      Ejemplo:


      (𝒂𝒏)𝒎 = 𝒂𝒏∗𝒎


      (𝟑 ) = 𝟑 = 𝟑

      𝟒 𝟑 𝟒∗𝟑 𝟏𝟐


      3.- Cociente (división) de potencias con la misma base.


      18

      Para dividir potencias que tengan la misma base, se mantiene la base, pero elevada a la diferencia (resta) de los exponentes.

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      𝑎𝑚

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      𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

      𝑎


      26

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      2

      = 26−2 = 2𝟒

      19

      2

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    4. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor.


      En este subtema aprenderás a descomponer números compuestos individualmente y en conjunto a analizar cuáles son sus múltiplos y divisores comunes, así como a calcular el mnm (mínimo común múltiplo) y MCD (máximo común divisor) de un grupo pequeño de números.

      Comencemos con la pregunta ¿qué es el número primo?


      Es el número entero que solamente es divisible por sí mismo (el número, positivo y negativo y, por la unidad positiva y negativa) y por el 1.

      Ahora ¿cuáles son los números primos? los números primos que se encuentran entre el 1 y el 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,

      97.


      *Si observas ninguno de estos números se encuentra como resultado en las tablas de multiplicar.


      Ahora ¿cuál es el concepto del número compuesto?


      El número compuesto es cualquier número natural no primo, a excepción del 1. Es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el término divisible para referirse a estos números.

      Los 30 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25,

      26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44 y 45.


      *Todos estos números se encuentran como resultado en las tablas de multiplicar.


      20

      A continuación describiremos como se descomponen los números compuestos en factores primos, esto quiere decir que vamos a encontrar los número primos que multiplicados nos den el número compuesto. Luego, se puede decir que como multiplicación de dos o más factores primos se pueden representar un número compuesto.

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      ¿Cómo se descompone un número en producto de factores primos?


      Se siguen los siguientes pasos:


      1.- Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical (se puede visualizar la división en el esquema de abajo) y a la derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7,...) por el cual dicho número sea divisible.

      2.- El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto.


      3.- Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido (es el resultado de la división), y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1.


      Ejemplo: descomposición en producto de factores primos del número 24.


      Cocientes parciales

      Factores primos

      24

      2

      12

      2

      6

      2

      3

      3

      1



      24= 2*2*2*3 = 23 * 3

      Así se expresa el número 24 como producto de factores primos


      Los números que están a la izquierda de la línea, son los cocientes parciales y los de la derecha, son los factores primos.

      21

      Siempre se debe comenzar por el menor número primo, el número que te están preguntando, que sea divisor.

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      Bien, ahora pasemos al MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.


      Para entender mejor esta definición veremos todos los términos:


      1. Múltiplo: el múltiplo de un número es el que se obtiene cuando se multiplica por otros números.


        Un ejemplo de los múltiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos hay que ir multiplicando el 2 o el 3 por 1, por 2, por 3, etc.


        1. x 2 = 4, 2 x 3 = 6, 2 x 4 = 8 y así sucesivamente hasta infinitos números.


        2. x 2 = 6, 3 x 3 = 9, 3 x 4 = 12 y así sucesivamente hasta infinitos números.


      2. Múltiplo Común: el múltiplo común es un número que es múltiplo a la vez de dos o más números, es decir, es un múltiplo común a esos números.


        Ejemplo de los múltiplos comunes de 6 y 8:


        Múltiplos de 6: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108…


        Múltiplos de 8: 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128…


      3. Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes.


      22

      Ejemplo de los múltiplos comunes de 6 y 8:


      Múltiplos de 6: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108…

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      Múltiplos de 8: 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128…


      En el caso de 6 y 8, si analizamos la lista de múltiplos de ambos, y vemos cuál es el múltiplo común más pequeño que tienen, es el 24.


      Sin embargo, se puede calcular el mcm de dos o más números con ayuda de la

      descomposición por factores primos de los números involucrados, de la siguiente manera: Se coloca en una tabla de descomposición los números:

      6

      8

      2

      3

      4

      2

      3

      2

      2

      3

      1

      3

      1




      Los números que obtuvimos en la parte de la derecha, se multiplican para calcular el mcm:


      (2)(2)(2)(3) = 24

      Y encontramos el 24 que anteriormente habíamos encontrado en la lista de múltiplos del 6 y 8.


      Ejemplo 1 de aplicación:


      De la estación de autobuses del Centro de Cuernavaca, salen viajes a tres diferentes destinos: a CDMX cada 15 minutos, a Cuautla cada 20 minutos y a Jojutla cada 35 minutos. Si salen tres autobuses al mismo tiempo hacia los diferentes destinos a las 10:00 am ¿a qué hora volverán a coincidir?


      23

      Solución image

      image

      Este ejercicio lo podemos resolver calculando el mcm de los tiempos que tardan en salir los autobuses a cada destino:


      15

      20

      35

      2

      15

      10

      35

      2

      15

      5

      35

      3

      5

      5

      35

      5

      1

      1

      7

      7



      1



      (2)(2)(3)(5)(7) = 420 minutos


      El resultado nos indica que los autobuses volverán a coincidir en la salida después de 420 minutos, que si lo dividimos entre 60, obtenemos que será dentro de 7 horas, es decir, a las 17:00 horas o las 5:00 pm.


      Luego el MÁXIMO COMÚN DIVISOR ¿qué es? el máximo común divisor (MCD) de dos o más números naturales o enteros (no números con decimales) es el número más grande que les divide.

      Para aprender a calcular el MCD, usaremos una tabla similar a la de mcm, pero en este caso, para poner los números en la parte derecha de la tabla, todos los números involucrados se deben poder dividir entre el número que se vaya a colocar.


      Ejemplo:


      24

      MCD (100, 60 y 80)


      100

      60

      80

      2

      50

      30

      40

      2

      25

      15

      20

      5

      5

      3

      4


      image

      El 5, 3 y 4 ya no pueden ser divididos por ningún número primo en común, por lo tanto, ahí termina, y el MCM de 100, 60 y 80 será:

      (2)(2)(5) = 20


      Ejemplo de aplicación:


      Tienes una habitación de 630 x 450 cm en la que quieres poner azulejos cuadrados ¿cuál es el tamaño más grande posible para colocar sin que se tenga que recortar ningún azulejo?

      Solución image

      Este problema se puede resolver calculando el MCD de 630 y 450 cm:


      630

      450

      2

      315

      225

      3

      105

      75

      3

      35

      25

      5

      7

      5



      Ya que el 7 y el 5 son números primos, no tienen divisor común, por lo tanto el MCM de 630 y 450 será:

      25

      (2)(3)(3)(5) = 90 cm

      26

      image

      image

      image


      Actividad de aprendizaje U1-A3


      Ejercicio 3:


      El profesor de matemáticas se enfermó gravemente de una infección, por lo que el doctor le recetó tres diferentes medicamentos: un antibiótico, que tiene que tomar cada 6 horas; un antihistamínico, que tiene que tomar cada 8 horas; y un desinflamante, que tiene que tomar cada 5 horas. ¿Cada cuánto coincide que se tome los tres medicamentos juntos?





      Notas












      Observaciones académicas


      1. 60 horas

      2. 240 horas

      3. 150 horas

      4. 120 horas

      image

      27

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U1-A4

      image

      image



      Ejercicio 4:


      Máximo quiere pintar una casa pequeña. Según sus cálculos, necesitará 12 litros de pintura roja, 24 litros de pintura verde y 16 litros de pintura azul. Pero quiere comprar botes de pintura que tengan la misma cantidad de litros y que el número de botes sea el menor posible,

      ¿de cuántos litros debe ser cada bote y cuántos botes de cada color debe comprar Máximo?





      Notas











      Observaciones académicas


      1. Botes de 4 litros: 3 de pintura roja, 6 de verde y 4 de azul.

      2. Botes de 6 litros: 3 de pintura roja, 4 de verde y 3 de azul.

      3. Botes de 2 litros: 6 de pintura roja, 12 de verde y 8 de azul.

      4. Botes de 4 litros: 4 de pintura roja, 9 de verde y 10 de azul.


      image

      image

      Explicación integradora

    5. Operaciones básicas con fracciones


      Sumar, restar, multiplicar y dividir son operaciones básicas con fracciones, y también se agrega la simplificación de las mismas. La estructura que las identifica es, el numerador y el denominador, y a la vez, se clasifican en fracción propia, impropia, unitaria, mixta.

      La estructura de una fracción está conformada por un numerador situado en la parte "superior" y un denominador ubicado en la parte "inferior", como podemos observar en la tabla a continuación:


      Tabla 1 Estructura de la fracción


      Estructura de la fracción

      a = numerador

      𝑎

      image

      𝑏

      b = denominador


      Hay que mencionar, además que las fracciones típicamente se clasifican en base a la relación que tienen entre el valor del “numerador” y el valor del “denominador”, tal como se muestra en las siguientes tablas:


      28

      Tabla 2 Clasificación de las fracciones


      Fracción Propia

      El valor del numerador es menor que el

      denominador; estas fracciones representan valores menores al entero.


      2

      image

      5

      Fracción Impropia

      El valor del numerador es mayor que el

      denominador; estas fracciones representan valores mayores al entero.


      9

      image

      5

      Fracción

      Unitaria

      El valor del numerador y del denominador es el

      mismo, por ello representan el entero.

      5

      image

      5


      Fracción Mixta

      Este tipo de fracciones está basado simplemente

      en la combinación de números reales y fracciones, sirven para simplificar una fracción impropia


      2

      6 5

      image


      image

      Podemos observar en la tabla de clasificación de las fracciones, que las fracciones mixtas y las impropias son mayores a un entero, y por tanto, cada fracción impropia le corresponde una fracción mixta, y viceversa.

      Para poder convertir (pasar) de una fracción mixta a una impropia, como la siguiente:



      Se realiza el siguiente procedimiento;

      2 37

      image

      image

      5 =

      7 7


      1.- Se multiplica el entero 5 por el denominador 7.


      2.- Al resultado, se le suma el numerador 2.


      (5)(7) + 2 = 37


      Y el denominador queda igual.


      En caso de convertir (pasar) de fracción impropia a mixta, como el ejemplo:


      image

      image

      25 4


      29

      Los pasos a seguir son:

      7 = 3 7

      image

      1.- Se divide el numerador 25 entre el denominador 7, tomando en cuenta sólo el número entero

      3.


      2.- Como (3) (7) = 21, para llegar a 25 que es el numerador, faltan 4, y ese número se coloca en la parte del numerador de la fracción mixta.


      Ahora, con respecto a la multiplicación en las fracciones ¿cómo se realiza?, para multiplicar las fracciones, se deben de tener como propias o impropias, no en mixtas, y se multiplican directo: numerador por numerador y denominador por denominador;

      image

      image

      image

      4 6 24 ( ) ( ) =

      7 9 63


      Porque


      (4)(6) = 24


      Y


      (7)(9) = 63


      Cuando se tiene una multiplicación de un número entero por una fracción (no confundir con la fracción mixta, en la multiplicación hay paréntesis), al entero se le coloca el número 1 como denominador:


      (8) (

      3

      image

      ) = ( 4

      8 3

      image

      image

      ) ( ) =

      𝟏 4

      24

      image

      4 = 6


      En segunda instancia tenemos a la División, pero ¿cómo efectuar la división de fracciones?


      Se realiza una multiplicación “cruzada”, es decir, se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el producto será el numerador del resultado; después se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el producto se coloca en el denominador del resultado:

      image

      image

      image

      30

      8 3 32 ( ) ÷ ( ) =

      11 4 33

      image

      (8)(4) = 32 𝑆𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 (11)(3) = 33 𝑆𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜


      *El caso de dividir un número entero entre una fracción, se aplica igual que en la multiplicación: se le coloca el número 1 como denominador al entero.


      Para sumar y restar en fracciones, existen dos casos posibles:


      Primero, cuando el denominador es igual:


      7 2 3 6

      image

      image

      image

      image

      𝟒 + 𝟒 𝟒 = 4


      En estos casos, el denominador pasa igual para el resultado, y los numeradores se suman o se restan dependiendo de su signo: 7 + 2 – 3 = 6.


      Y el segundo escenario posible, sucede cuando el denominador es diferente:


      En estos casos, se tiene que encontrar un denominador común para convertir las fracciones a sumarse o restarse en equivalente con un nuevo denominador que sea múltiplo de todos los denominadores individuales, es decir, se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores involucrados:

      3 7 5

      image

      image

      image

      31

      𝟒 + 𝟖 𝟔

      image

      Se calcula el mcm de 4, 6 y 8:


      4

      6

      8

      2

      2

      3

      4

      2

      1

      3

      2

      2


      3

      1

      3


      1



      (2)(2)(2)(3) = 24


      Se coloca a manera de resultado como denominador general el mcm:


      3 7 5

      image

      image

      image

      image

      𝟒 + 𝟖 𝟔 = 𝟐𝟒

      Para encontrar los numeradores equivalentes, se divide el denominador general 24 entre cada uno de los denominadores individuales:

      (24) ÷ (4) = 6


      (24) ÷ (8) = 3


      (24) ÷ (6) = 4


      El resultado, se multiplica por cada uno de los numeradores, y se coloca en forma de suma o resta (dependiendo de su signo) en el numerador del resultado:

      (24) ÷ (4) = 6 →→ (6)(3) = 18


      (24) ÷ (8) = 3 →→ (3)(7) = 21


      (24) ÷ (6) = 4 →→ (4)(5) = 20


      𝟑 𝟕 𝟓

      𝟏𝟖 + 𝟐𝟏 𝟐𝟎 𝟏𝟗

      image

      image

      image

      image

      image

      32

      𝟒 + 𝟖 𝟔 =

      𝟐𝟒 = 𝟐𝟒

      33

      image

      image

      image

      image

      image

      image

      image


      Actividad de aprendizaje U1-A5


      Ejercicio 5:


      Un deportista decide entrenar recorriendo cierta pista de atletismo. El primer día recorre image de la pista, el segundo image y el tercer día image ¿Cuántas vueltas le dio a la pista en total?

      a) 2 5

      24

      b) 2 17

      40

      12

      4

      Notas del estudiante














      Observaciones académicas


      1. 3 7

      2. 5 1

      image


      image

      image

      Explicación integradora

    6. Razones, proporciones, porcentajes y regla de tres.


      Razones matemáticas.


      Una razón matemática es una comparación entre dos cantidades, y se debe entender como una división.

      Pensemos en una cantidad a dividida entre una cantidad b, el resultado a/b podemos entenderlo como la razón de a a b, es decir, cuántas unidades de a hay por cada unidad de b.

      Si dividimos al revés, b entre a, el resultado lo podemos interpretar como la razón de b a a, es decir, cuántas unidades hay de b por cada unidad de a.

      Veamos un ejemplo práctico para entender mejor este concepto.


      Pensemos en que compramos un paquete de vasos desechables, el cual contiene 25 vasos y tiene un precio de $20.


      Estas dos cantidades (cantidad de vasos y precio), podemos dividirlas e interpretar los resultados:

      25 𝑣𝑎𝑠𝑜𝑠

      image

      $20 = 1.25 𝑣𝑎𝑠𝑜𝑠 / $

      Esta es la razón (división) de vasos a pesos, es decir, cuántos vasos nos están dando por un peso.


      $20

      image

      25 𝑣𝑎𝑠𝑜𝑠 = $0.80 /vaso

      Esta es la razón (división) de pesos a vasos, es decir, cuántos pesos nos cuesta cada vaso.


      ¿Cuál razón me sirve más? Depende de qué queramos saber, de cuál dato nos sirve más para lo que estemos analizando.


      La parte importante de esta definición es comprenderla, darle un contexto para poder aplicarla en los momentos que sea necesario.


      Pensemos en el siguiente ejemplo:


      34

      ¿En cuál de los siguientes paquetes es más económico comprar por pieza qué aceptar la oferta?


      Oferta 1

      Pieza: $ 11.50

      Kit de 10 piezas por sólo

      Oferta 2

      Pieza: $ 11.50

      Kit de 4 piezas por sólo

      Oferta 3

      Pieza: $ 112.00

      Kit de 10 piezas por sólo

      Oferta 4

      Pieza: $ 16.50

      Kit de 9 piezas por sólo

      $ 127.65

      $ 42.32

      $ 952.00

      $ 133.65


      image

      Podemos empezar diciendo que cualquier precio es una razón matemática, pues representan el dinero que pagas por 1 pieza, o 1 kg o 1 L, o la unidad de medida en que compres.


      Teniendo esto en cuenta, si para cada caso, podemos dividir el precio entre el número de piezas, y el resultado será la razón de pesos a piezas, es decir, cuántos pesos debemos pagar (el precio) por cada pieza, por lo que podemos hacer una tabla comparativa:


      Oferta

      Oferta 1

      Oferta 2

      Oferta 3

      Oferta 4

      Precio por pieza

      $11.50

      $11.50

      $112.00

      $16.50

      Precio por pieza en la oferta

      $12.765

      $10.58

      $ 95.20

      $ 14.85


      Y tal como podemos observar, en la oferta 1 es más conveniente comprar por pieza que comprar la oferta.


      Proporciones

      La proporción es la relación de correspondencia cuando una cantidad que representa una magnitud, cambia con respecto a otra cantidad de otra magnitud.


      Ejemplo:


      Un motociclista recorre 30 km en 25 minutos, ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 2 horas?


      Solución image

      35

      Se tienen que ordenar los datos que se dan de acuerdo a su proporción, empezando por los dos términos de referencia, que nos dice que el motociclista en 25 minutos recorre 30 km, lo que plantearemos como una razón (25 minutos / 30 km). Ya que la razón se conserva (pues asumimos que la motocicleta lleva la misma velocidad en todo momento), se puede igualar a la razón que hay entre 120 minutos (2 horas) y x kilómetros que va a recorrer:

      25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

      image

      30 𝑘𝑚 =

      120 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

      image

      𝑥 𝑘𝑚



      image

      Se multiplican los números que están “cruzados”, es decir 30 y 120 en este caso, y se divide entre el número restante 25:

      (30)(120) ÷ 25 = 144 𝑘𝑚


      Por otra parte, el porcentaje lo entendemos como un símbolo matemático, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes iguales. También se le llama comúnmente, “tanto por ciento”, donde, “por ciento”, significa «de cada cien unidades».

      Para este tema, se calculará porcentaje a partir de dos datos, y se calculará un dato a partir de otro dato y el porcentaje.


      Ejemplo 1: calcular el porcentaje dado de una cantidad. Calcula el 26% de $7,800.

      Solución image

      Siempre que se quiere calcular el porcentaje de una cantidad, se multiplica la cantidad 7,800

      por el porcentaje 26%¸y se divide entre 100.


      (7,800)(26)

      image

      100 = $2,028


      Ejemplo 2: calcular el porcentaje a partir de dos cantidades dadas.


      ¿Qué porcentaje representan 4,700 personas de una población de 15,600?


      36

      Solución image

      image

      En estos problemas se toma la cantidad que representa total, es decir 15,600 personas, como el 100%, por lo que se divide la cantidad de referencia 4,700 entre el total 15,600, y se multiplica por 100%.

      4,700

      image

      (


      ) (100%) = 30.12%

      37

      15,600

      38

      image

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U1-A6

      image

      image



      Ejercicio 6:


      En una encuesta en Morelos, se preguntó a 50,000 personas sobre qué candidato iban a votar en las elecciones del año 2018: 22,980 personas dijeron que por el primer candidato, 15,690 por el segundo candidato, 10,500 por el tercer candidato y el resto dijo estar indeciso.

      ¿Qué porcentaje de intención de voto tiene cada candidato?


      Notas del estudiante













      Observaciones académicas


      1. 45.96% del candidato 1, 31.38% al candidato 2 y 21% al candidato 3.

      2. 44% del candidato 1, 37% al candidato 2 y 11% al candidato 3.

      3. 22.980% del candidato 1, 15.960% al candidato 2 y 10.500% al candidato 3.

      4. 40% del candidato 1, 30% al candidato 2 y 20% al candidato 3.

      39

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U1-A7

      image



      Ejercicio 7:


      Clara ha tardado 3 horas en capturar 16 hojas de su trabajo de literatura ¿Cuántas podrá capturar en una hora y media?


      Notas del estudiante
















      Observaciones académicas


      1. 4

      2. 12

      3. 8

      4. 16

      image

      image

      Encriptación


      Imagina que tienes que transmitir un mensaje a alguien, pero que nadie debe de saber qué dice, mas que el destinatario. Es decir, que si alguien más lo intercepta, no debe saber leer lo que dice. Para lograrlo deberás recurrir a la encriptación, que consiste básicamente en cambiar las letras de tu mensaje por símbolos, números, o por otras letras.

      Una manera clásica en que se puede llevar a cabo la encriptación, es “moviendo” las letras del abecedario, cambiando la letra por la cual comienza.


      Vamos a encriptar la palabra abril. Vamos a elegir una cantidad de lugares a recorrer el abecedario, es decir, elegir la letra por la cual iniciará mi abecedario encriptado. Pensemos en que buscamos que inicie por la letra G, lo que nos daría ya los dos abecedarios: el original (AO) y el encriptado (AE):


      AO

      AE


      AO

      AE


      AO

      AE

      a

      g


      j

      p


      s

      y

      b

      h


      k

      q


      t

      z

      c

      i


      l

      r


      u

      a

      d

      j


      m

      s


      v

      b

      e

      k


      n

      t


      w

      c

      f

      l


      o

      u


      x

      d

      g

      m


      p

      v


      y

      e

      h

      n


      q

      w


      z

      f

      i

      o


      r

      x





      Ahora, simplemente comparamos ambos abecedarios y cambiamos las letras de abril, que están escritas en el abecedario original por las letras del abecedario encriptado:


      𝒂 → 𝒈; 𝒃 → 𝒉, 𝒓 → 𝒙, 𝒊 → 𝒄, 𝒍 → 𝒓


      40

      Por lo que, encriptada a partir de este abecedario que planteamos aquí, la palabra abirl se encripta con el código ghxcl.

      image

      Muy bien, ya sabemos encriptar un mensaje. Pero ¿Qué pasaría si nosotros fuéramos el receptor del código encriptado? Si analizamos el procedimiento que se llevó a cabo para encriptar, lo podemos invertir para desencriptar códigos en palabras para encontrar el mensaje original.


      Veamos un ejemplo de cómo descifrar un código, a partir de una palabra de referencia y su respectivo código.


      La palabra estaba se codifica como qefmnm, ¿A qué palabra desencripta el código ymfqymfuome?


      La clave para poder desencriptar un código, es saber qué tanto se está recorriendo el abecedario del mensaje original para generar el código. Esto lo podemos averiguar teniendo en cuenta cuál letra del código se está cambiando por la a en el mensaje original.

      Vamos a analizar la palabra y el código, para ver cómo se cambian las letras:



      Mensaje Original

      e

      s

      t

      a

      b

      a

      Código

      q

      e

      f

      m

      n

      m



      41

      Y nos damos cuenta que la a en el mensaje original se está intercambiando por la m en el código (alfabeto encriptado). Siguiendo este inicio, obtendríamos lo siguiente:


      AO

      AE


      AO

      AE


      AO

      AE

      a

      g


      j

      p


      s

      y

      b

      h


      k

      q


      t

      z

      c

      i


      l

      r


      u

      a

      d

      j


      m

      s


      v

      b

      e

      k


      n

      t


      w

      c

      f

      l


      o

      u


      x

      d

      g

      m


      p

      v


      y

      e

      h

      n


      q

      w


      z

      f

      i

      o


      r

      x






      image

      Por lo que, para desencriptar el código ymfqymfuome, tendremos que cambiar cada una de las letras del código con su letra correspondiente para el abecedario original:


      A. E.

      y

      m

      f

      q

      y

      m

      f

      u

      o

      m

      e

      A. O.

      m

      a

      t

      e

      m

      a

      t

      i

      c

      a

      s


      42

      Por lo que la palabra será matemáticas.

      43

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U1-A8

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      La palabra ESTABA se codifica en cierto código como QEFMNM, ¿Qué palabra decodifica para el código RGQDFQ?


      Notas del estudiante











      Observaciones académicas


      1. MUERTE

      2. FUERTE

      3. SUERTE

      4. CALIENTE

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      image

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      Explicación integradora

    7. Patrones en sucesiones.


      Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números. Cada uno de ellos es denominado término, elemento o miembro de la sucesión y, al número de elementos ordenados, posiblemente infinitos, se le denomina la longitud de la sucesión.


      Por ejemplo:


      En la siguiente sucesión, identifica cuáles son los dos números que siguen:

      2, 5, 11, 20, 32, ,


      Solución image

      Primero se tiene que identificar cuál es la diferencia entre un número y el anterior de la serie:

      5 − 2 = 3


      11 − 5 = 6


      20 − 11 = 9


      32 − 20 = 12


      Podemos ver que el patrón de la sucesión es:


      Al primer término se le suman 3, al segundo término se le suman 6, al tercer término se le suman 9 y al cuarto número se le suman 12, por lo que podemos asumir que al número que se suma entre un término y otro de la sucesión, a su vez, se le va sumando 3. Por lo tanto, los dos siguientes términos se obtendrán sumando 15 y 18 respectivamente al término anterior:

      44

      2, 5, 11, 20, 32, 𝟒𝟕, 𝟔𝟓

      45

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U1-A9

      image



      En la siguiente serie numérica, identifica cuáles son los dos números que siguen:

      2, 5, −1, 8, −4, 11, , __


      a) 7, 14

      b) 7, - 14

      c) - 7, -14

      d) - 7, 14

      Notas del estudiante












      Observaciones académicas


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      Explicación integradora

    8. Representaciones espaciales de figuras y objetos


Las sucesiones de figuras son un conjunto de cambios de posición o de forma que se debe ubicar para conocer el siguiente paso de la sucesión, al igual que en las sucesiones antes vistas existe un patrón.


Consejos para identificar representaciones espaciales de figuras y objetos.



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Ejemplo:


Imagen 1. Representaciones espaciales de figuras y objetos.


46

En este primer caso podemos observar que conforme la sucesión de figuras avanza hacia la derecha el triángulo se hace más pequeño mientras que el circulo se hace más grande por lo tanto la opción correcta es la b.

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SEGUNDA UNIDAD ÁLGEBRA


Módulo IV. MATEMÁTICAS


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Unidad 1.

Aritmética

Unidad 2.

Álgebra

Unidad 3.

Geometría Analítica

Unidad 4.

Trigonometría

Unidad 5.

Probabilidad y Estadística


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Nos encontramos aquí


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Objetivo específico


Al terminar la unidad, el estudiante utilizará el lenguaje algebraico, realizará operaciones básicas con monomios, polinomios y reglas de productos notables. Resolverá ecuaciones de primer grado con una incógnita, de segundo grado, y de dos incógnitas. Lo anterior con la finalidad de aplicar el razonamiento algebraico a problemas cotidianos y laborales.

¿Qué voy a aprender? image


47

En esta unidad realizaré operaciones que me brindarán las herramientas para calcular una parte de alguna figura geométrica tal como un triángulo, un círculo, un hexágono, un cuadrado, un rectángulo, a partir de su área. Por otro lado, aprenderemos a leer e interpretar el lenguaje algebraico. En el caso de los sistemas de ecuaciones, nos ayudan a calcular, por ejemplo, las cantidades que debemos de verter de dos mezclas con cierta concentración para lograr una tercera mezcla con una concentración deseada.


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Explicación integradora

    1. Lenguaje algebraico


      En lo que toca al lenguaje algebraico, se sabe que es la forma de traducir a símbolos y números lo que comúnmente tomamos como expresiones particulares, que llevan por nombre términos algebraicos.

      De esta manera, se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir, lo que hace posible simplificar los teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y estudiar cómo resolverlos. El lenguaje algebraico nos ayuda a resolver problemas matemáticos al mostrar generalidad.

      Para comenzar, necesitamos definir qué elementos tiene un término algebraico, por ejemplo:


      −𝟐𝒙𝟑


      En particular atención el signo, que puede ser positivo o negativo, si se encuentra al inicio de una expresión y es positivo, habitualmente no se coloca, sin embargo asumimos que es positivo.


      Retomando el ejemplo anterior, visualizamos que es negativo y si tiene el signo de – del lado izquierdo, en este caso, si se pone.


      Otro elemento es el coeficiente, que es la parte numérica del término, y constituye una multiplicación por la incógnita o parte de letra. En el caso de que el coeficiente sea 1, no se coloca, es decir, si la letra no tiene número, se asume que su coeficiente es 1. En este caso, es 2.

      48

      También dentro de los elementos se tiene al factor literal o incógnita, esto quiere decir que las letras que contienen el término representa una cantidad desconocida hasta ahora. Si son seguidas o juntas, indican que son cantidades que se multiplican. En el ejemplo, la incógnita es x.

      image

      El último elemento que encontramos en el término algebraico, es el exponente o grado, que es el número más pequeño visualizado en la parte superior derecha de la o las incógnitas, a forma de superíndice, el exponente, muestra las veces que se multiplica por sí misma la incógnita, y también define el grado de la expresión. En el caso donde el exponente es 1, no se escribe. En el ejemplo anterior, el exponente es 3.

      En algunas ocasiones, sucede que el signo es positivos, el coeficiente es 1 y el grado o exponente de igual forma sea 1, casos en los cuales no se muestran explícitamente ninguno de esos componentes, quedando así:

      𝒙 = +𝟏𝒙𝟏


      En las tablas a continuación, observamos los elementos que tiene término algebraico y ejemplos de las expresiones algebraicas más usadas, en forma verbal y escrita:

      Tabla 3. Elementos del término algebraico


      Elementos del término algebraico

      Signo

      Positivo (+)

      Negativo (-)

      Coeficiente

      2, 3,4…

      Factor literal o incógnita

      𝑥,y

      Exponente o grado

      𝑥𝟏, 𝑥𝟐


      image

      49

      Tabla 4. Expresiones algebraicas


      Expresiones algebraicas

      Forma verbal

      Forma escrita

      La suma de dos números

      a + b

      La resta o diferencia de dos números

      a - b

      El producto de dos números

      ab

      El cociente de dos números

      a / b , a ÷ b

      El cociente de las suma de dos números, sobre la

      diferencia

      𝑎 + 𝑏

      image

      𝑎 − 𝑏

      El doble de un número

      2a

      El doble de la suma de dos números

      2 (a + b)

      El triple de la suma de dos números

      3 (a + b)

      La mitad de un número

      𝑎

      image

      2

      La mitad de la diferencia de dos números.

      𝑎 − 𝑏

      image

      2

      El cuadrado de un número

      𝑎2

      El cuadrado de la suma de dos números

      (𝑎 + 𝑏)2

      El triple del cuadrado de la suma de dos números

      3(𝑎 + 𝑏)2

      La suma de tres números

      a + b + c

      image


      image

      Abordemos el siguiente ejemplo:


      Encuentra la expresión algebraica que representa la siguiente relación:


      Al triple de un número x, se le resta el doble un número y, y el resultado es el número z a la cuarta potencia.

      Solución image

      Aquí ya no se mencionan “números cualesquiera”, sino que se les asigna directamente una letra a cada número que no conocemos (incógnitas o variables).

      Analicemos por partes:


      “El triple de un número xse pone como 3x.


      “El doble de un número y” será 2y.


      50

      “El número z a la cuarta potencia” será z4

      image

      Ahora, sólo veamos qué operaciones o signos hay entre ellos. Primero cambiamos las partes de la forma verbal por la forma escrita:

      A 3x se le resta 2y, y el resultado es z4.


      Cambiamos la forma verbal por los signos correspondientes:


      En “se le resta” ponemos signo de menos y en “el resultado es” ponemos un signo de igual:


      51

      3x – 2y = z4

      52

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      Actividad de aprendizaje U2-A10

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      image



      Encuentra la expresión algebraica que representa la siguiente relación:


      A la mitad de un número a, se le resta el cuádruple de un número b, y el resultado es el número z al cuadrado.


      a) 2𝑎 + 4𝑏 = 2𝑧


      b) 𝑎 − 4𝑏 = 𝑧2 2

      c) 𝑎2 − 4𝑏 = 𝑧2

      d) 𝑎 𝑏 = 𝑧 2 4 2

      Notas del estudiante




















      Observaciones académicas



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      image

      Explicación integradora

    2. Operaciones básicas con monomios y polinomios.


      Pensar en realizar operaciones básicas algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) se tienen que tener en cuenta dos términos esenciales: monomio y polinomio.

      Un monomio es una expresión algebraica que sólo incluye un término algebraico, y un polinomio incluye dos o más términos algebraicos, separados por un signo de + o de -. A su vez, se pueden nombrar a los polinomios de dos términos como binomios, y a los de tres términos como trinomios, como se muestra en la siguiente tabla.


      Tabla 5. Monomios y polinomios.



      Monomios y Polinomios

      Monomio

      2𝑥

      Binomio

      2𝑥 + 4𝑦

      Trinomio

      2𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧


      Para realizar operaciones algebraicas, empezaremos con monomios, suma y resta de monomios o reducción de términos semejantes.

      Es importante saber que para reducir términos semejantes, tenemos que definir cuáles son los términos semejantes.

      53

      En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal; es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

      Por ejemplo:

      image

      2𝑎𝑐 + 4𝑎𝑐 = 6𝑎𝑐


      Se pueden sumar 2ac y 4ac porque son términos semejantes, tienen la misma combinación de letras y exponentes.

      2𝑎𝑐 + 4𝑎𝑥


      No se pueden sumar porque no son términos semejantes, pues tienen diferente combinación de letras y exponentes. Aunque ambos monomios tienen la letra a, en una está multiplicada por c, y en otra por x, y sólo por eso dejan de ser términos semejantes.

      Esta situación aplica tanto para suma como para resta. Ejemplo:

      2𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 − 6𝑎𝑧 + 𝑎𝑥 − 6𝑎𝑦 + 10𝑎𝑧 + 𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧 + 7𝑎𝑥


      Para poder reducir los términos semejantes, tenemos que identificarlos:

      𝟐𝒂𝒙 + 𝟒𝒂𝒚 − 𝟔𝒂𝒛 + 𝒂𝒙 − 𝟔𝒂𝒚 + 𝟏𝟎𝒂𝒛 + 𝒂𝒚 + 𝟓𝒂𝒛 + 𝟕𝒂𝒙


      Los términos semejantes están marcados cada uno con el mismo color de sus semejantes, y podemos hacer la reducción por separado, sumando o restando solamente los coeficientes de cada término, y dejando los factores literales (las letras) en el mismo orden y con el mismo exponente:


      2𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 + 7𝑎𝑥 = 10𝑎𝑥

      4𝑎𝑦 − 6𝑎𝑦 + 𝑎𝑦 = −𝑎𝑦

      −6𝑎𝑧 + 10𝑎𝑧 + 5𝑎𝑧 = 9𝑎𝑧


      Para colocar el resultado, se colocan los términos obtenidos:


      54

      2𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 − 6𝑎𝑧 + 𝑎𝑥 − 6𝑎𝑦 + 10𝑎𝑧 + 𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧 + 7𝑎𝑥 = 10𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 9𝑎𝑧



      image

      Por otro lado, tenemos la multiplicación de monomios y para multiplicar monomios, se tienen que realizar en el siguiente orden: primero se multiplican los signos, siguiendo las Leyes de los Signos. Posteriormente se multiplican los coeficientes, como una multiplicación normal numérica, y por último, al multiplicar la parte literal, se tienen que seguir la ley de los exponentes que nos dice que al multiplicarse dos términos iguales, sus exponentes se suman.


      Ejemplo:

      (−5𝑥2𝑦)(4𝑥3𝑦5)


      Solución image

      Realizando la multiplicación en el orden indicado, primero multiplicamos los signos: el primer término tiene signo negativo y el segundo es positivo, por lo que al multiplicar ( - ) ( + ) = -. Se prosigue multiplicando los coeficientes, donde (5)(4)=20. Por último, multiplicamos la parte literal, donde tenemos que sumar los exponentes de las letras que son iguales. Para x, en el primer término tiene como exponente el número 2, y en el segundo exponente tiene el número 3 de exponente, por lo que sumamos ambos exponentes, y en el resultado la potencia de x será 2+3=5. El mismo caso para y, que en el primer término tiene como exponente 1 y en el segundo término tiene 5, y en el resultado el exponente de y será 1+5=6. El resultado en total quedará:

      (−5𝑥2𝑦)(4𝑥3𝑦5) = −20𝑥5𝑦6


      55

      Para llevar a cabo una división de monomios, se procede de la misma manera que en la multiplicación: primero los signos, después los coeficientes y por último los factores literales, con la diferencia de que en este caso se aplica la Ley de los Exponentes en que los exponentes de dos términos iguales, se restan en lugar de sumarse.

      image

      Ejemplo:


      −40𝑥6𝑦7

      image

      −8𝑥𝑦3



      Siguiendo los mismos pasos que en la multiplicación, comenzamos dividiendo los signos, que en este caso específico, ambos son negativos por lo que ( - ) / ( - ) = +. Se prosigue con la parte numérica, donde 40/8=5. Por último, se analizan los exponentes para los factores literales: para x, en el término del numerador, tiene como exponente 6, y en el del denominador, tiene como exponente 1, por lo que el resultado tendrá como exponente 6-1=5. En el caso de y, la parte del numerador tiene como exponente 7, y en el denominador tiene 3, por lo que en el resultado, y tendrá en el exponente 7-3=4. Juntando estas partes, queda:

      −40𝑥6𝑦7


      image

      −8𝑥𝑦3

      = 5𝑥5𝑦4



      También, por otro lado, se realiza dentro de estas operaciones la potenciación de monomios, que significa “elevar” un término algebraico a cierta potencia, multiplicando por sí mismo todo el término las veces que la potencia lo indique. Se puede llevar a cabo como una multiplicación “múltiple”, es decir, podría llegar a ser de más o dos términos.

      Para el caso de los signos en la potenciación, se tiene la regla básica de que, si el exponente es un número par, el resultado siempre será positivo, pero si el exponente es impar, el resultado conserva el mismo signo del término a potenciar.

      Para la parte del coeficiente, sólo se realiza la operación de potenciación del número indicado, multiplicándose por sí mismo las veces que el exponente indique.

      Por último, para el caso de los factores literales, se aplica la ley de los exponentes que indica que el exponente que de por sí tiene cada letra se multiplica por el exponente de la potencia a la que queremos elevar el término.

      56

      Ejemplo:


      (5𝑥2𝑦4)3


      image

      image

      Solución


      Los paréntesis nos indican que tenemos que elevar a la tercera potencia todo el término (monomio) que se encuentra dentro de ellos.

      Comenzamos por el signo, para el cual la regla nos dice que, si la potencia es un número impar, el signo del resultado conserva el signo del término, por lo que el resultado será positivo. Continuamos con el coeficiente, que en este caso es 5, que se tiene que elevar a la tercera potencia, es decir, multiplicarse por sí mismo 3 veces: (5)(5)(5)=125. En el caso de los factores literales, analizamos sus exponentes: para x, el exponente individual que tiene es 2, por lo que en el resultado, x tendría de exponente (2)(3)=6; para el caso de y, el exponente individual es 4, por lo que en el resultado, y tendrá de exponente (4)(3)=12.

      (5𝑥2𝑦4)3 = 125𝑥6𝑦12


      El siguiente punto trata de operaciones con polinomios e iniciaremos con la suma de los mismos. La suma de polinomios se puede simplificar sin dificultad a reducción de términos semejantes, sencillamente quitando los paréntesis que agrupan ambos polinomios.


      Ejemplo:

      (5𝑎𝑥 + 7𝑎𝑦 − 8𝑎𝑧) + (−2𝑎𝑥 + 3𝑎𝑧 − 𝑎𝑦)


      Solución image

      Los paréntesis se pueden remover sin ningún problema, pues sólo existe un signo positivo entre uno y otro, lo que hace que todos los términos conserven sus signos respectivos:

      5𝑎𝑥 + 7𝑎𝑦 − 8𝑎𝑧 − 2𝑎𝑥 + 3𝑎𝑧 − 𝑎𝑦 = 3𝑎𝑥 + 6𝑎𝑦 − 5𝑎𝑧


      57

      Después de quitar los paréntesis, simplemente se realiza la reducción de términos semejantes.

      image

      Por otro lado, en la resta de polinomios se efectúa de una forma muy parecida a la suma para quitar los paréntesis, sin embargo, al polinomio que se encuentra después del signo negativo que indica la resta de polinomios, se le cambian todos los signos de sus términos, pues al multiplicar un signo cualquiera por un signo negativo, el resultado termina siendo de signo contrario.


      Ejemplo:

      (5𝑎𝑥 + 7𝑎𝑦 − 8𝑎𝑧) − (−2𝑎𝑥 + 3𝑎𝑧 − 𝑎𝑦)


      Solución image

      Se quitan los paréntesis del primer grupo del polinomio, pero, para el segundo polinomio se tienen que cambiar los signos de cada término, pues el signo negativo antes del paréntesis los afecta:

      5𝑎𝑥 + 7𝑎𝑦 − 8𝑎𝑧 + 2𝑎𝑥 − 3𝑎𝑧 + 𝑎𝑦 = 7𝑎𝑥 + 8𝑎𝑦 − 11𝑎𝑧


      A su vez, la multiplicación de polinomios, se da monomio por polinomio, que incluye varias multiplicaciones monomio-monomio individuales, pues el monomio a multiplicar, tiene que multiplicar a todos los términos del polinomio por el que se va a multiplicar.


      Ejemplo:

      (5𝑥)(2𝑦 + 6𝑎 − 8)


      Solución image


      58

      Esta multiplicación se puede dividir en tres multiplicaciones de monomio por monomio separadas, pues el término 5x multiplicará a cada uno de los términos del trinomio por el que se está multiplicando:

      image

      (5𝑥)(2𝑦) + (5𝑥)(6𝑎) − (5𝑥)(8) = 10𝑥𝑦 + 30𝑎𝑥 − 40𝑥


      Nota: a la hora de colocar los factores literales, el orden realmente no importa, pero lo más común es colocarlos en orden alfabético.


      Por otro parte la multiplicación de dos polinomios se puede separar en varias multiplicaciones de monomios, solamente se tiene que analizar, pues todos los términos del primer polinomio se tienen que multiplicar por todos los términos del segundo polinomio.

      Ejemplo:

      (2𝑥 + 5𝑦)(5𝑎 − 3𝑏)


      En este ejercicio se tienen que realizar cuatro multiplicaciones, pues depende de los términos que tenga cada polinomio, será el número de términos que tenga el resultado: en este caso ambos polinomios tienen dos términos, por lo que el resultado tendrá (2)(2) = 4 términos.

      Separamos las multiplicaciones:

      (2𝑥)(5𝑎 − 3𝑏) + (5𝑦)(5𝑎 − 3𝑏)


      Y ya quedan multiplicaciones de monomios por binomios, que se pueden resolver de la siguiente manera:

      (2𝑥)(5𝑎) + (2𝑥)(−3𝑏) + (5𝑦)(5𝑎) + (5𝑦)(−3𝑏)


      Realizando las multiplicaciones individuales, el resultado será:

      59

      = 10𝑎𝑥 − 6𝑏𝑥 + 25𝑎𝑦 − 15𝑏𝑦

      60

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      image

      Actividad de aprendizaje U2-A11

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      Juan va a comprar un terreno que mide de largo 7 metros más que el doble de su ancho. Selecciona la opción que corresponde a la expresión algebraica que representa su área:


      a) 𝐴 = 2𝑎2 + 7𝑎

      b) 𝐴 = 𝑎2 + 7𝑎

      c) 𝐴 = 2𝑎2 + 7

      d) 𝐴 = 2𝑎2 + 14𝑎

      Notas del estudiante























      Observaciones académicas


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      Explicación integradora

    3. Operaciones algebraicas utilizando las reglas de los productos notables.


      Se nombran productos notables para ciertos productos que respetan reglas fijas y cuyo resultado se puede escribir con una simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

      En este tema analizaremos dos de los productos notables. Primero el binomio al cuadrado que para elevarlo, se puede hacer a forma de multiplicación de dos binomios exactamente iguales:

      (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

      Al desarrollar estas multiplicaciones y reducir los términos semejantes, se puede encontrar una “fórmula”, que es la que hace al binomio al cuadrado un producto notable:

      (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

      En el binomio, a se refiere al primer término, y b al segundo término. Por lo que al elevar un binomio al cuadrado, el resultado estará constituido por un trinomio que contiene el primer término a al cuadrado, más el doble del producto del primer término y segundo término, más el segundo término b al cuadrado.

      Ejemplo:

      (2𝑥 + 3𝑦)2


      image

      Solución


      El primer término a, en este caso es 2x, y en segundo término b es 3y. Si sustituimos en la fórmula dada anteriormente:

      (2𝑥 + 3𝑦)2 = (2𝑥)2 + 2(2𝑥)(3𝑦) + (3𝑦)2

      Podemos concluir desarrollando las operaciones indicadas:

      61

      (2𝑥 + 3𝑦)2 = 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2

      image

      Habría que mencionar también a los binomios conjugados, se dice que dos binomios son conjugados cuando en ambos se tienen dos términos exactamente iguales, con excepción del signo de alguno de los dos términos en alguno de los dos binomios.

      (𝑎 + 𝑏) 𝑦 (𝑎 − 𝑏)


      Son binomios conjugados.


      El resultado de la multiplicación de dos binomios conjugados ya reducido a producto notable, es simplemente la diferencia del primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado:

      (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

      Ejemplo:


      (2𝑥 + 5𝑦)(2𝑥 − 5𝑦)


      Solución image

      Para encontrar este producto, simplemente desarrollamos sustituyendo en la fórmula:

      (2𝑥 + 5𝑦)(2𝑥 − 5𝑦) = (2𝑥)2 − (5𝑦)2

      Para terminar, se desarrolla la potenciación de los términos:

      62

      (2𝑥 + 5𝑦)(2𝑥 − 5𝑦) = 4𝑥2 − 25𝑦2

      63

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      image

      Actividad de aprendizaje U2-A12

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      Desarrolla el siguiente binomio al cuadrado:


      (𝑥 − 2)2

      a) 𝑥2 + 4𝑥 + 4

      b) 𝑥2 + 4𝑥 − 4

      c) 𝑥2 − 4𝑥 + 4

      d) 𝑥2 − 4𝑥 − 4

      Notas del estudiante
























      Observaciones académicas


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      Explicación integradora

    4. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Acerca de las ecuaciones, primero tenemos que definir qué es una ecuación, y esto es, una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos.

      𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 = 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜


      Para resolver una ecuación implica encontrar el valor o valores de su o sus incógnitas. Iniciemos por ecuaciones de primer grado y una incógnita con un ejemplo sencillo e intuitivo.

      𝑥 + 5 = 8


      En este caso es fácil intuir que el valor de x es 3, pues la ecuación nos dice que x es un número que, al sumarle 5, resulta en 8, y el único número que cumple esta condición es el 3.

      Sin embargo, para resolver las ecuaciones de manera correcta, se tiene que despejar a la incógnita, es decir, dejarla en un miembro de la ecuación sola. Usualmente se deja del lado izquierdo del signo igual, es decir, en el primer miembro.

      A fin de despejar a x, tenemos que quitar del primer miembro los números y coeficientes que estén con ella. Para quitarlos, los vamos a pasar hacia el otro miembro de la ecuación, siempre con la operación contraria a la que están llevando a cabo. Si el número está sumando, pasa hacia el otro lado restando; si el número está restando, pasa hacia el otro lado sumando; si el número está multiplicando (como coeficiente), pasa hacia el otro miembro dividiendo; y si el número está dividiendo, pasa hacia el otro miembro multiplicando.

      En este caso, sólo tenemos el número 5 sumando a x, por lo que se pasa hacia el otro miembro de la ecuación restando al número 8:

      𝑥 = 8 − 5


      Para encontrar el valor de x, sólo es necesario realizar la resta correspondiente:


      64

      𝑥 = 3

      image

      Y encontramos el valor que ya conocíamos, pero ahora siguiendo el procedimiento para despejar x.

      Sin embargo, esta es solamente una propiedad de las ecuaciones, que es la que usamos para pasar, en este caso, el 5 sumando hacia el otro lado de la ecuación, restando.

      Ahora veamos otro ejemplo, para el que tendremos que pasar un coeficiente de x, que está multiplicando, dividiendo al miembro derecho:

      8𝑥 − 6 = 26

      La ecuación indica que x es un número que al multiplicar por 8, y al resultado de esa multiplicación, restarle 6, resulta en 26.

      Para despejar a x, en esta ecuación tenemos primero que quitar el -6 del primer miembro.

      Ya que se encuentra restando, se pasará sumando:

      8𝑥 = 26 + 6

      Ya que suma al 26, la ecuación queda:

      8𝑥 = 32

      Donde ahora, tenemos más claro el valor de x, solamente se tiene que pasar el 8 al segundo miembro de la ecuación, y ya que está multiplicando a x, tendrá que pasar dividiendo al 32:

      𝑥 = 32 ÷ 8

      𝑥 = 4

      Podemos comprobar que la ecuación fue resulta correctamente sustituyendo el valor que obtuvimos de x en ésta:

      8(4) − 6 = 26

      32 − 6 = 26

      Ya que x cumple para esta condición, la respuesta es correcta


      Veamos un último ejemplo de cuando tenemos términos en x en ambos miembros de la ecuación:

      7𝑥 + 16 = −5𝑥 − 8


      65

      Para encontrar el valor de x en esta ecuación, primero debemos de ordenar los términos en x del lado izquierdo de la ecuación, y los términos independientes del lado derecho. Para poder llevar a cabo esto, al cambiar un término de un miembro de la ecuación al otro, debemos cambiar la operación que está haciendo con respecto al otro término.

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      Por ejemplo, ya que queremos que el −5𝑥 pase hacia el lado izquierdo, su signo nos indica una resta con respecto al -8, por lo que para cambiarlo hacia el miembro izquierdo, pasará como +5𝑥, y el +16 que se encuentra sumando, pasará hacia el miembro izquierdo restado, por lo que podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:

      7𝑥 + 5𝑥 = −8 − 16


      Ahora, podemos hacer las operaciones de ambos lados:

      12𝑥 = −24


      Y ya por último, para dejar la x sola en el miembro izquierdo, el 12 que se encuentra multiplicándola, pasará del lado derecho dividiendo:

      12

      image

      𝑥 = −24

      Y resolviendo:


      𝑥 = −2


      Al sustituir en la ecuación original, podemos comprobar que es su valor correcto:

      7(−2) + 16 = −5(−2) − 8


      −14 + 16 = 10 − 8


      66

      𝟐 = 𝟐

      67

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      image

      Actividad de aprendizaje U2-A13

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      Selecciona cuál es el valor de x que satisface la siguiente ecuación:


      −8𝑥 + 9 = −15


      Notas del estudiante














      Observaciones académicas


      1. -1

      2. 1

      3. -3

      4. 3

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      image

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      Explicación integradora

    5. Ecuaciones de segundo grado.


      Las ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas, son aquellas en las que la incógnita (por lo general x) está elevada a la segunda potencia, por lo que el procedimiento para despejar cambia un poco al final del procedimiento de despeje. Veamos un ejemplo para entender mejor. Encontremos el valor que debe tomar x para la siguiente ecuación:

      3𝑥2 − 17 = 31

      Despejemos la incógnita como ya lo vimos en el tema anterior: pasar el -17 hacia el miembro derecho con una suma, y el 3 con una división:

      3𝑥2 = 31 + 17

      3𝑥2 = 48

      image

      𝑥2 = 48

      3

      𝑥2 = 16

      Entendamos lo que nos indica esa igualdad: x es un número que elevado a la segunda potencia, es decir, multiplicado por sí mismo, debe de dar como resultado 16.

      Para pasar la potencia 2 hacia el lado derecho, debemos pasarla con la operación contraria: la raíz cuadrada, por lo que:

      image

      𝑥 = √16


      Por definición, la raíz cuadrada de 16 será un número que al multiplicarse por sí mismo nos de

      16. Sin embargo, podemos darnos cuenta que existen 2 números que cumplen con esto: 4 y - 4, ya que: (4)(4) = 16 y (−4)(−4) = 16 (por la ley de los signos).

      Así, definimos que en esta ecuación, encontraremos dos números como respuesta:

      68

      𝑥1 = 4

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      𝑥2 = −4


      Sustituyendo por separado ambos valores en la ecuación original:

      3(4)2 − 17 = 31

      3(16) − 17 = 31


      48 − 17 = 31


      𝟑𝟏 = 𝟑𝟏


      Operación que se hará igual para -4.


      Ahora ya sabemos resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita, siempre y cuando ésta se pueda despejar.

      Sin embargo, existen ocasiones en las que la incógnita no se puede despejar, y se da cuando, además de algún término cuadrático (como x2), se tiene un término en lineal (como x, sin exponente). Normalmente tienen la siguiente forma:

      𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

      En esta ecuación, a es el coeficiente para la incógnita elevada al cuadrado, b es el coeficiente para el término lineal, es decir, el que tiene a la incógnita con exponente de 1; por último, c es siempre el término independiente, es decir, el que no es coeficiente de ninguna incógnita. Para poder resolverlas, debemos identificar los valores que tienen a, b y c.

      image

      Ya que se tienen identificados los valores de a, b y c, se sustituyen en la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:


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      𝑥 =

      −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

      69

      Esta fórmula nos ayuda a calcular las raíces de la ecuación a resolver, es decir, los dos valores de x para los que cumple la ecuación, pues recordemos que al calcular una raíz cuadrada podemos obtener dos valores: uno positivo y uno negativo, y esta fórmula toma en cuenta esos dos valores colocando el signo más-menos en ella.

      image

      Veamos un ejemplo de cómo usarla:


      Encuentra los valores de x para la ecuación cuadrática:


      2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 0


      Solución:


      Se comienza analizando la ecuación, y definiendo los valores de a, b y c. Recordemos que a es el coeficiente del término de segundo grado, por lo que a = 2. El valor de b es el coeficiente del término lineal, que en este caso será b = 5. Por último, c toma el valor del número que no tiene ninguna incógnita: c = -3.

      Ya teniendo definidos los valores, se sustituyen en la fórmula general:


      image

      𝑥 =

      −(5) ± √(5)2 − 4(2)(−3)

      image

      2(2)


      Tomemos en cuenta que la ecuación contiene un 4 dentro de la raíz cuadrada y un 2 en el denominador que siempre se colocan.

      Vamos resolviendo la expresión aritmética, respetando la jerarquía de operaciones:


      image

      𝑥 =

      −5 ± √25 + 24

      image

      4


      image

      𝑥 =

      −5 ± √49

      image

      4


      𝑥 =

      −5 ± 7

      image

      4


      Llegado a este paso, la expresión se puede separar en dos partes, que podemos denominar x1

      y x2, una para la parte positiva de la raíz cuadrada, y una para su parte negativa:


      𝑥1 =

      −5 + 7

      image

      70

      4

      image

      𝑥2 =

      −5 − 7

      image

      4


      Para terminar, se resuelve cada una de las expresiones:


      −5 + 7 2

      image

      image

      𝑥1 = 4 = 4 = 0.5


      𝑥2 =

      −5 − 7

      image

      4 =

      −12

      image

      4 = −3


      Por lo que 0.5 y -3 son los valores que resuelven la ecuación mostrada al principio. También para ecuaciones cuadráticas podemos realizar una comprobación para verificar que nuestras respuestas fueron correctas, sustituyendo por separado los valores obtenidos de x en la ecuación original:

      𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0.5: 2(0.5)2 + 5(0.5) − 3 = 0

      2(0.25) + 2.5 − 3 = 0


      0.5 + 2.5 − 3 = 0


      0 = 0


      Ya que de ambos lados de la ecuación el resultado es cero, podemos decir que x = 0.5 es correcta.

      𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3 2(−3)2 + 5(−3) − 3 = 0

      2(9) − 15 − 3 = 0


      18 − 18 = 0


      0 = 0


      71

      De la misma manera que en el caso anterior, x = - 3 cumple con la ecuación, por lo tanto, también es correcto.

      72

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      image

      Actividad de aprendizaje U2-A14

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      Encuentra los valores que puede tomar x en la siguiente ecuación de segundo grado:


      𝑥2 − 2𝑥 − 15 = 0


      a) 𝑥1 = 5, 𝑥2 = −3

      b) 𝑥1 = −5, 𝑥2 = −3

      c) 𝑥1 = −5, 𝑥2 = 3

      d) 𝑥1 = 5, 𝑥2 = 3

      Notas del estudiante



















      Observaciones académicas


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      Explicación integradora

    6. Ecuaciones de dos incógnitas.


Una ecuación puede contener más de una incógnita, lo que forma una relación entre sus dos incógnitas.

𝑥 + 𝑦 = 10


Por ejemplo, para esta ecuación, x y y pueden tomar una cantidad infinita de valores, como 5 y 5, 4 y 6, 3 y 7, por mencionar algunas soluciones con dos números positivos. Por esta razón, podemos decir que una ecuación con dos incógnitas tiene un número de infinito de soluciones.

Para encontrar dos valores concretos que solucionen la ecuación, necesita apoyarse de otra que sea simultánea a ella, es decir, en la que los valores de sus incógnitas valgan lo mismo para ambas ecuaciones.

Al grupo de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas se le llama sistema de ecuaciones, en este caso, de 2x2 (dos incógnitas y dos ecuaciones).

Agreguemos una ecuación a la anterior para que se pueda formar un sistema de ecuaciones

para poder resolver:


𝑥 + 𝑦 = 10 I Ecuación

𝑥 − 𝑦 = 2 II Ecuación


Este sistema de ecuaciones nos indica que x y y son dos números que sumados nos dan 10, pero si al valor de x le restamos el valor de y, el resultado es 2. Analizando un poco y probando números, de manera muy sencilla podemos intuir que

𝑥 = 6, 𝑦 = 4


Pues 4 y 6 son dos números que sumados dan 10, y si a 6 le restamos 4, obtenemos 2.


73

Sin embargo, resolver sistemas de ecuaciones no suele ser tan sencillo o intuitivo, por lo que a continuación veremos cómo desarrollar el más sencillo de varios métodos de resolución: el método de reducción.

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Ejemplo:


Encuentra los valores de las incógnitas del siguiente sistema de ecuaciones:

2𝑥 + 5𝑦 = 11


−3𝑥 + 8𝑦 = 30


Solución image

El método de reducción consiste en simplificar el sistema, realizando operaciones de suma y resta entre las ecuaciones para eliminar alguna de las dos incógnitas del sistema.

Esto se puede llevar a cabo poniendo los coeficientes de alguna de las dos incógnitas como números iguales, pero con signo diferente. Para este caso, se puede aprovechar que, de los dos coeficientes de x, uno ya es negativo, y otro positivo, sólo se tienen que convertir en el mismo número. Para que el 2 y el 3 puedan ser el mismo número, podemos multiplicarlos entre sí: al 2 multiplicarlo por 3, y al 3 multiplicarlo por 2, y ambos serán 6; uno positivo y uno negativo.

Para poder llevar a cabo esto, tenemos que multiplicar toda la ecuación por el número que multiplicaremos el coeficiente de x en ambas ecuaciones:

(3)(2𝑥 + 5𝑦) = (11)(3)

(2)(−3𝑥 + 8𝑦) = (30)(2)


Se tiene que hacer para no alterar las ecuaciones: todos los términos de la primera ecuación se multiplican por 3 y todos los términos de la segunda ecuación se multiplican por 2:

6𝑥 + 15𝑦 = 33


−6𝑥 + 16𝑦 = 60


Podemos observar que los términos en x son iguales, pero con signos diferentes, y se procede a juntar todos los términos en una sola ecuación:

74

6𝑥 + 15𝑦 − 6𝑥 + 16𝑦 = 33 + 60


A fin de realizarlo, se tienen que respetar los signos de cada término.

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Podemos observar que para este caso, se pueden eliminar los términos en x, pues en eso consiste el método de reducción: reducimos a x del sistema. De la misma manera, reducimos los valores en y y los valores del segundo miembro de la ecuación:

31𝑦 = 93


Ahora ya está una ecuación muy sencilla, en la que sólo hay que despejar la literal a y, y el 31 pasa a dividir a 93 del miembro derecho de la ecuación:

𝑦 = 93 ÷ 31


𝑦 = 3


Ya tenemos el valor de y, solamente falta encontrar el valor de x, lo que podemos llevar a cabo tomando alguna de las dos ecuaciones del sistema original. Para fines prácticos, tomamos la primera ecuación, y sustituimos y = 3:

2𝑥 + 5(3) = 11


2𝑥 + 15 = 11


Ahora ya precisamos una ecuación de primer grado y una incógnita, que podemos resolver despejando a x:

2𝑥 = 11 − 15


2𝑥 = −4


𝑥 = −4 ÷ 2


𝒙 = −𝟐


Por lo que sigue, obtuvimos los valores de ambas incógnitas, así que, procederemos a la comprobación, sustituyendo ambos valores en ambas ecuaciones:

Para la primera ecuación:

2(−2) + 5(3) = 11


−4 + 15 = 11


75

11 = 11

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Dado que en ambos miembros de la ecuación se obtienen resultados iguales, para la primera ecuación, cumplen ambos valores.


Para la segunda ecuación:

−3(−2) + 8(3) = 30


6 + 24 = 30


30 = 30


De igual manera, ambos valores encontrados cumplen también para la segunda ecuación, por lo que la solución al sistema es

76

𝒙 = −𝟐, 𝒚 = 𝟑

77

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Actividad de aprendizaje U2-A15

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Marco le ha dado a su hijo monedas de $5 y $10 para que aprenda el hábito del ahorro. Después de un mes, el hijo de marco cuenta sus monedas y tiene en total $800 y 110 monedas.

¿Cuántas monedas de cada denominación tiene?


a) 70 de $5 y 40 de $10

b) 60 de $5 y 50 de $10

c) 50 de $5 y 60 de $10

d) 40 de $5 y 70 de $10

Notas del estudiante



















Observaciones académicas


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TERCERA UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA


Módulo IV. MATEMÁTICAS

UNIDADES

Unidad 1.

Aritmética

Unidad 2.

Álgebra

Unidad 3.

Geometría Analítica

Unidad 4.

Trigonometría

Unidad 5.

Probabilidad y Estadística

Asignaturas


Nos encontramos aquí image

Objetivo específico image


Al concluir la unidad, el estudiante ubicará y calculará puntos, coordenadas y distancias en el plano cartesiano, graficará sus relaciones y funciones. Encontrará e identificará las ecuaciones en línea recta, dada su pendiente y uno de sus puntos, las representará gráficamente en línea recta y casos especiales en el plano cartesiano. Lo anterior, con el propósito de aplicar el razonamiento geométrico analítico a problemas cotidianos.

¿Qué vamos a aprender? image


78

Podremos calcular distancias rectas entre dos puntos de un mapa, que nos ayudará a ubicarnos en alguna parte de la República Mexicana y del mundo, orientarnos en el mar, y todo lo que se relacione con el entendimiento de la cartografía y la geometría. Interpretaremos gráficos de estudios científicos, de análisis clínicos, de estudios socioeconómicos, demográficos, etc.


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Explicación integradora

    1. Puntos en el plano cartesiano.


      La geometría analítica se basa en analizar puntos en el plano cartesiano, del mismo modo, su relación entre las figuras, rectas y líneas en general que forman estos puntos, que se termina definiendo con ecuaciones de dos incógnitas con cierta correlación entre sí.

      En este subtema, vamos a ubicar los puntos en el plano cartesiano. Sin embargo, tenemos que comenzar definiendo el concepto de plano cartesiano:

      El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

      image

      II

      I

      III

      IV

      Imagen 1. Plano cartesiano



      79

      En el plano cartesiano existen cuatro cuadrantes, como se muestra en la figura: el Primer Cuadrante, en el que las coordenadas tanto de x como de y son positivas; el Segundo Cuadrante, en el que las coordenadas de x son negativas, y las de y son positivas; el Tercer cuadrante, en el que las coordenadas tanto de x como de y son negativas; y el Cuarto Cuadrante, donde las coordenadas de x son positivas y las coordenadas de y son negativas.

      image

      El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

      Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:

      P (x, y).


      Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe realizar el siguiente procedimiento:


      1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

      2. Desde donde se localiza el valor de y, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

        Observemos un ejemplo de localización de puntos en el plano cartesiano y localicemos los siguientes puntos en el plano:

        80

        A (5, 6), B (-5,5), C (-2,3), D(-2,-2), E(3,-4), F(2,-6)



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        81

        Imagen 2. Ejemplo puntos de plano cartesiano


        Resultado de imagen para puntos en el plano

        82

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        Actividad de aprendizaje U3-A16

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        ¿Qué figura geométrica está dada por los siguientes puntos en el plano?


        (−1, 4) (−3, 3) (−3, 1) (−1, 0) (1, 1) (1, 3)


        Notas del estudiante














        Observaciones académicas


        1. Rombo

        2. círculo

        3. cuadrado

        4. hexágono


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        Explicación integradora

    2. Coordenadas de puntos que dividen segmentos a la mitad (punto medio).


      Si se consideran dos puntos en el plano cartesiano que unidos forman un segmento de recta, se pueden obtener varias características con estos valores. Una de ellas C, que es el punto medio, es decir, el punto del plano cartesiano que divide el segmento de recta en dos partes iguales.

      Para calcular las coordenadas de un punto medio del segmento de recta formado por los puntos

      𝐴(𝑥1 , 𝑦1) y 𝐵(𝑥2 , 𝑦2), se usan las siguientes fórmulas:


      Para la coordenada de x:


      Para la coordenada de y:


      Ejemplo:


      𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2

      image

      2


      image

      𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2

      2


      Encuentra el punto en el plano cartesiano que divide al segmento de recta formado por los puntos 𝐴(4, 6) y 𝐵(−5, −1), por la mitad.

      Solución image

      Primero se tienen que identificar los siguientes valores de ambas x y ambas y:


      𝑥1 = 4

      𝑥2 = −5

      𝑦1 = 6

      83

      𝑦2 = −1

      image

      Para el valor de x:


      𝒙 =


      𝟒 + (−𝟓) 𝟏

      image

      image

      𝟐 = 𝟐 = 𝟎. 𝟓


      𝟔 + (−𝟏) 𝟓

      image

      image

      𝒚 = 𝟐 = 𝟐 = 𝟐. 𝟓


      Por lo tanto, el punto medio está localizado en:

      84

      𝑃. 𝑀. (0.5, 2.5)


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      Explicación integradora

    3. Distancia entre dos puntos a partir de su ubicación en el plano cartesiano.


      Al igual que en el tema anterior, aquí manejaremos dos puntos A y B en el plano cartesiano, pero esta vez para calcular la distancia que existe entre ellos.


      La fórmula a usar, a partir de los puntos 𝐴(𝑥1 , 𝑦1) y 𝐵(𝑥2 , 𝑦2), es:


      image

      𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2


      Ejemplo:


      85

      Calcula la distancia que existe entre los puntos 𝐴(4, 6) y 𝐵(−5, −1).


      image

      image

      Solución


      Primero se tienen que identificar los siguientes valores de ambas x y ambas y:

      𝑥1 = 4

      𝑥2 = −5

      𝑦1 = 6

      𝑦2 = −1


      Teniendo estos datos, se sustituyen en la fórmula:


      image

      𝑑 = √(−5 − 4)2 + (−1 − 6)2


      image

      𝑑 = √(−9)2 + (−7)2


      image

      𝑑 = √81 + 49


      image

      𝑑 = √130


      86

      𝑑 = 11.4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

      87

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U3-A17

      image



      Para los siguientes dos puntos en el plano, encuentra las coordenadas del punto que divide a la mitad el segmento de recta formado y calcula la distancia entre los puntos.

      𝐴 (5, −1), 𝐵(−7, 5)


      a) 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (1, −2), 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 15.2

      b) 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (−1, −2), 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 15.2

      c) 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (−1, 2), 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 13.4

      d) 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (1, 2), 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 13.4

      Notas del estudiante



















      Observaciones académicas





      image


      image

      image

      Explicación integradora

    4. Comprender y representar gráficamente relaciones.


      En el plano cartesiano se pueden representar no solamente puntos fijos, sino también relaciones entre las variables x y y en forma de ecuaciones. Esto se logra asignando valores a ambas variables que cumplan con la ecuación.

      En la unidad de aritmética, se mencionó una ecuación de dos incógnitas que tiene un número infinito de soluciones:

      𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎


      88

      Para poder representar esta relación en el plano cartesiano, se pueden tomar algunos valores para ambas incógnitas que satisfagan la ecuación:



      Punto

      Valor de


      X

      Valor de


      Y

      A

      0

      10

      B

      1

      9

      C

      2

      8

      D

      3

      7

      E

      4

      6

      F

      5

      5

      G

      6

      4

      H

      7

      3

      I

      8

      2

      J

      9

      1

      K

      10

      0

      image

      Todos esos valores son algunos de los que satisfacen la ecuación. Para poder tomarlos como una relación en la gráfica, se puede tomar esta serie de valores como coordenadas de diferentes puntos en el plano cartesiano.

      Algunos puntos de lesa relación serían los siguientes:

      𝐴(0,10), 𝐵(1,9), 𝐶(2,8), 𝐷(3,7), 𝐸(4,6), 𝐹(5,5), 𝐺(6,4), 𝐻(7,3), 𝐼(8,2), 𝐽(9,1), 𝐾(10,0)


      Si graficamos estos puntos, podremos obtener una recta que representa gráficamente la relación 𝑥 + 𝑦 = 10.


      89

      La siguiente es la relación gráfica de la ecuación 𝑥 + 𝑦 = 10


      image


      image

      image

      Explicación integradora

    5. Comprensión y representación gráfica de funciones.


      Para este tema, iniciemos por definir qué es una función matemática:


      Es la relación establecida entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un elemento único del segundo conjunto o ninguno. Se le denomina también al conjunto inicial dominio; en el conjunto final o conjunto de llegada, mientras tanto, puede llamarse co-dominio.

      Es una relación, pero con una variable dependiente (usualmente y) y otra independiente (usualmente x), en la que el valor de la variable dependiente, depende de la variable independiente. Para las funciones, también se toma f(x) como “función de x” como equivalente de y.

      image

      Imagen 3. Recorrido de la función.


      90

      Se puede representar funciones de diferentes tipos de acuerdo a los parámetros y operaciones que se hagan con la variable independiente x. Visualicemos gráficas de algunas funciones:

      image

      Imagen 4. Ejemplo función


      image


      91

      Imagen 5. Ejemplo función


      image

      image

      Imagen 6. Ejemplo función


      image


      Imagen 7. Ejemplo función


      image


      Nota: para estos casos, el número puede ser cualquiera, positivo o negativo, y cuando tenga a

      92

      x, es una recta vertical, cuando tenga a cuando tenga a y es una recta horizontal.

      image

      Imagen 8. Ejemplo función


      image


      93

      Imagen 9. Ejemplo función


      image

      94

      image

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U3-A18

      image

      image




      ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la ecuación 𝑦 = −𝑥?


      a) b) image

      c) image d) image

      Notas del estudiante






      Observaciones académicas




      image

      image

      Explicación integradora

    6. Ecuación de la línea recta.


      Toda recta trazada en el plano cartesiano tiene una ecuación de primer grado asociada (por esta razón se les llama “lineales” a las ecuaciones de primer grado). La forma más usada para estas ecuaciones es la forma pendiente-ordenada al origen, que queda como y en función de x, o simplemente como f(x):

      𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑎


      En esa forma, los parámetros m y a definen todas las características que tendrá la recta: qué tan inclinada estará, por dónde cruzará, hacia dónde estará orientada, etc. La pendiente m representa qué tan inclinada estará la recta, y qué tipo de ángulo estará formando con el eje de x; por otro lado, la ordenada al origen a es el valor donde la recta intersectará al eje de y (recordemos que el eje y se llama también eje de las ordenadas).


      Veamos un ejemplo:


      95

      Encuentra la ecuación en su forma pendiente-ordenada al origen de la siguiente recta en el plano cartesiano:

      image


      image

      Solución


      Primero que nada, tenemos que tener en cuenta la forma de la ecuación que será la respuesta, es decir, la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen:

      𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑎


      Teniendo la gráfica, podemos encontrar sin ningún problema el valor de la ordenada al origen

      96

      a, que es simplemente el valor de la ordenada donde intersecta la recta:

      image


      Podemos observar que el cruce de la recta por el eje de y está en 3, por lo que ya tenemos una parte de la ecuación:

      𝑎 = 3


      Por lo tanto:

      𝑦 = 𝑚𝑥 + 3


      Ahora sólo tenemos que encontrar el valor de la pendiente m.


      Un método muy sencillo para hacerlo, es el siguiente:


      1. Analizar hacia dónde está orientada la recta: si está “recargada” hacia la derecha ( / ), la pendiente será un número positivo; por el contrario, si está “recargada” hacia la izquierda ( \ ) el valor de la pendiente será un número negativo.

        En este caso, tendremos una pendiente positiva.


        97

      2. Nos vamos a la ordenada al origen, que en este caso es de 3, y avanzamos una unidad sobre el eje de x:

        image


        image

        2

        1

      3. Sobre x se pasó de 0 a 1, ahora, se avanza hacia arriba, contando cada unidad avanzada sobre la cuadrícula del plano cartesiano, hasta volver a encontrar la recta:



        Ya que se avanzaron dos unidades hacia arriba, decimos que el valor de la pendiente m es 2, y positivo.

        Esto se debe a que la pendiente es la relación (división) de las coordenadas en y entre las coordenadas en x de dos puntos cualesquiera que estén formando la recta, y hacer este procedimiento es como tomar dos puntos seguidos sobre el eje de x.

        Para entender bien el procedimiento, usaremos la fórmula para calcular la pendiente:

        image

        𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1

        𝑥2 − 𝑥1


        La resta de 𝑦2 − 𝑦1 representa la distancia que hay entre un punto y otro en y, y la resta de 𝑥2 −

        98

        𝑥1 representa la distancia horizontal que existe entre un punto y otro, que en este caso estamos forzando a que sea igual a 1, lo que nos permite asumir que sólo contando la distancia vertical hacia el siguiente punto, encontramos a m.

        image

        Para este caso, 𝑦2 − 𝑦1 = 2, y 𝑥2 − 𝑥1 = 1, por lo que:

        2

        image

        𝑚 = 1 = 2

        Con el valor de la pendiente encontrado, ya tenemos completa la ecuación de la recta:


        99

        𝑦 = 2𝑥 + 3

        100

        Actividad de aprendizaje U3-A19

        image

        image



        Selecciona cuál es la ecuación que corresponde a la siguiente gráfica:


        image


        a) 𝑦 = 5𝑥 − 4

        b) 𝑦 = −5𝑥 + 4

        c) 𝑦 = −5𝑥 − 4

        d) 𝑦 = 5𝑥 + 4


        image

        image

        Explicación integradora

    7. Ecuación dados dos puntos.


      En este subtema, como en el anterior, encontraremos la ecuación de la recta, pero ahora a partir de dos puntos datos, sin necesidad de tener el diagrama del plano cartesiano y la recta sobre él.

      Para esto, tendremos en cuenta dos fórmulas: una para calcular la pendiente, y la otra para la ordenada al origen, tomando en cuenta la forma que habíamos visto anteriormente:

      𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑎

      Para dos puntos 𝐴(𝑥1 , 𝑦1) y 𝐵(𝑥2 , 𝑦2), la pendiente se calcula con la siguiente fórmula:


      image

      𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1

      𝑥2 − 𝑥1


      Ya que se calculó la pendiente, se calcula la ordenada al origen:


      𝑎 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1


      Ejemplo:


      101

      Encuentra la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen que pasa por los puntos 𝐴(−4, 6) y 𝐵(−1, −3)


      image

      image

      Solución


      Primero, se identifican los valores dados:

      𝑥1 = −4

      𝑥2 = −1

      𝑦1 = 6

      𝑦2 = −3

      Se sustituyen en la fórmula de la pendiente:


      image

      (−3) − 6 −3 − 6 −9

      image

      image

      𝑚 = (−1) − (−4) = −1 + 4 =

      3 = −3


      Ya que se encontró m, se calcula el valor de a:

      𝑎 = (6) − (−3)(−4)


      𝑎 = 6 + 12



      Por lo que la ecuación de la recta será:

      𝒂 = 𝟏𝟖


      102

      𝑦 = −3𝑥 + 18

      103

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U3-A20

      image



      Encuentra la ecuación en su forma pendiente-ordenada al origen de la recta que pasa por los puntos 𝐴( 1,4), 𝐵(6, −6)


      a) 𝑦 = −2𝑥 + 6

      b) 𝑦 = 2𝑥 + 6

      c) 𝑦 = −2𝑥 − 6

      d) 𝑦 = 2𝑥 − 6

      Notas del estudiante





















      Observaciones académicas


      image


      image

      image

      Explicación integradora

    8. Ecuación dada su pendiente y uno de sus puntos.


      Este caso es muy parecido a los anteriores, sin embargo, resulta mucho más sencillo, pues el problema ya está dando el valor de la pendiente m, además de un punto 𝐴(𝑥1 , 𝑦1). Por lo tanto, sólo tendremos que usar la fórmula para calcular la ordenada al origen:

      𝑎 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1


      Ejemplo:


      Indica cuál es la ecuación de una recta cuya pendiente es -5 y pasa por el punto (4, −7)


      Solución image

      Simplemente tenemos que identificar cuáles son los datos que nos da el problema:

      𝑚 = −5



      Ahora, se sustituye en la fórmula:

      𝑥1 = 4

      𝑦1 = −7


      𝑎 = (−7) − (−5)(4)


      Se resuelven las operaciones:


      𝑎 = −7 + 20


      𝒂 = 𝟏𝟑


      Por lo tanto, la ecuación queda:


      104

      𝑦 = −5𝑥 + 13

      105

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U3-A21

      image

      image



      Indica cuál es la ecuación de una recta en su forma pendiente-ordenada al origen, cuya pendiente es de 3 y pasa por el punto (2, 2)


      a) 𝑦 = 3𝑥 − 2

      b) 𝑦 = 3𝑥 + 2

      c) 𝑦 = 3𝑥 − 4

      d) 𝑦 = 3𝑥 + 4

      Notas del estudiante



















      Observaciones académicas



      image

      image

      Explicación integradora

    9. Graficar una línea recta en un plano cartesiano.


Este punto trata de que aprendamos a realizar lo inverso de lo que se hizo anteriormente, es decir, a partir de una función lineal, trazaremos una recta.

Nuevamente usaremos la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑎


Ejemplo:


Traza la recta que corresponde a la ecuación:

𝑦 = 3𝑥 − 4


Solución image

Para poder trazar una recta, sólo se requieren dos puntos en el plano, por lo que lo que haremos en este caso será encontrar esos dos puntos.

El primer punto lo da la ordenada al origen a, que, en la ecuación, siempre es el término independiente (que no tiene x). Es decir, siempre podremos encontrar un punto de la recta en la coordenada (0, 𝑎).

106

Para este caso en particular, 𝑎 = −4, por lo que podemos ubicar el primer punto de los dos que estamos buscando en la coordenada (0, −4):


image


image

Ahora, para localizar el segundo punto, una manera muy sencilla es avanzar una unidad sobre el eje horizontal, tomar ese valor de 𝑥 = 1, y sustituirlo en la ecuación dada:

𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 = 𝟏:

𝒚 = 𝟑(𝟏) − 𝟒


𝒚 = 𝟑 − 𝟒


𝒚 = −𝟏


Lo que nos indica que, para esta ecuación, cuando 𝑥 = 1, 𝑦 = −1, es decir, encontramos el segundo punto, cuyas coordenadas son (1, −1).

Continuamos poniendo dicho punto en la gráfica:


image


107

Teniendo ya ambos puntos, podemos proceder a unirlos:


image

image

108

Y la recta se prolonga indefinidamente hacia ambos lados:



image

109

image

image

Actividad de aprendizaje U3-A22

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¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la ecuación 𝑦 = 2𝑥 + 4?


a) image b) image

c)image d) image

Notas del estudiante





Observaciones académicas


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image

CUARTA UNIDAD TRIGONOMETRÍA


Módulo IV. MATEMÁTICAS

Clases Presenciales

Unidad 1.

Aritmética

Unidad 2.

Álgebra

Unidad 3.

Geometría Analítica

Unidad 4.

Trigonometría

Unidad 5.

Probabilidad y Estadística

Asignaturas


Nos encontramos aquí image


image

Objetivo específico


Al término de la unidad, el estudiante resolverá problemas de triángulos semejantes, distinguirá y calculará los diferentes tipos de ángulos, realizará conversiones de grados a radianes y viceversa. Aplicará el Teorema de Pitágoras y a su vez calculará razones trigonométricas. Resolverá problemas con leyes de senos y cosenos. Lo anterior con la finalidad de aplicar el razonamiento trigonométrico a problemas cotidianos y laborales.

¿Qué aprenderemos? image


110

Cálculos de medidas de ángulos y triángulos para aplicaciones de cómo encontrar el tamaño de objetos en relación a otros de referencia, por ejemplo, la altura de un edificio en relación a un sujeto, conociendo las medidas de sus sombras. Otra funcionalidad que entenderemos será cómo podemos saber hasta qué altura llegará una escalera si sabemos cuánto mide, hasta dónde podremos pintar.


image

image

Explicación integradora

    1. Problemas de triángulos semejantes.


      Para adentrarnos en este tema, habrá que entender que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales y la razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza. La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.


      triángulo triángulo


      Donde los lados homólogos son:


      Y los ángulos homólogos:


      a y a', b y b', c y c'


      A y A', B y B', C y C'


      El hecho de que son homólogos quiere decir que son proporcionales entre sí, por lo que podemos relacionarlos mediante una regla de proporcionalidad dada por una regla de tres.


      Observemos un ejemplo práctico:


      111

      Determinar la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

      image

      Solución:


      Podemos plantear dos diagramas que forman dos lados de un triángulo:


      dibujo


      Donde h es la altura del edificio y puede representar la altura de un triángulo, y la medida de la base del triángulo será lo que mide la sombra.

      Ya que el ángulo del sol es igual tanto para el poste como para el edificio, podemos asumir que también el poste forma un triángulo semejante con una altura de 4.5 m, que es la misma altura del poste, y una base de 0.9 m, que es lo que mide su sombra.

      A partir de esto, establecemos cómo haremos la operación de proporcionalidad para triángulos semejantes:

      Del triángulo de donde se encuentra la incógnita h, se toma el otro lado que nos da el ejercicio. Del otro triángulo, se toma el lado homólogo al de la incógnita, que en este caso es la altura del poste. Estos dos datos (6.5 m y 4.5 m) se multiplican, y el resultado se divide entre el dato que queda:

      (6.5 𝑚)(4.5 𝑚)

      image

      = 0.9 𝑚 =

      29.25

      image

      0.9


      ℎ = 32.5 𝑚


      112

      Por lo tanto, para calcular el lado que no conocemos (incógnita) se calculará siempre multiplicando el lado que nos dan del mismo triángulo por el lado homólogo del otro triángulo, y el resultado se va a dividir entre el dato que queda, que será el lado contrario del otro triángulo.

      113

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U4-A23

      image



      A cierta hora del día, la sombra de una persona de 1.78 m, mide 1.4 m ¿Cuánto medirá un poste que a la misma hora proyecta una sombra de 5.5 m?


      Notas del estudiante












      Observaciones académicas


      1. 6 m

      2. 7 m

      3. 8 m

      4. 9 m

      image


      image

      image

      Explicación integradora

    2. Diferentes tipos de ángulos.


      Al hablar de ángulos, es necesario saber que un ángulo es la “abertura” entre dos rectas, y se pueden medir en ángulos o en radianes.


      image

      Imagen 10. Ángulo agudo.

      Existen diferentes tipos de ángulos, que son los siguientes:




      image

      Imagen 11. Ángulo obtuso.

      114

      Imagen 12. Ángulo perigonal.


      image


      image

      Imagen 13. Ángulos complementarios.


      image


      Imagen 144. Ángulos suplementarios.


      image


      115

      Imagen 15. Ángulo recto.


      image

      image

      Imagen 166. Ángulo llano


      image


      116

      Imagen 17. Ángulos iguales.


      image

      117

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U4-A24

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      image



      ¿Cuál de los siguientes nombres de ángulos le corresponde al ángulo que mide 360°?


      Notas del estudiante






















      Observaciones académicas


      1. Recto

      2. Convexo

      3. Llano

      4. Perigonal


      image

      image

      Explicación integradora

    3. Ángulos.


      A partir de sumas o restas podemos calcular diferentes ángulos complementarios o suplementarios, o calcular alguno de los ángulos que los conforman, a partir del conocimiento de que dos ángulos son complementarios cuando suman 90°, y dos ángulos son suplementarios cuando suman 180°.


      image

      Ejemplo:


      Calcula cuándo mide el ángulo b, si c = 125°.


      Solución image

      En la figura, se pueden observar diferentes cosas.


      - El ángulo a es igual al ángulo c


      • El ángulo b es igual al ángulo b


      • Los ángulos a y c son obtusos.


      • Los ángulos b y d son agudos.


      • Los ángulos a y b son suplementarios.


      • Los ángulos d y c son ángulos suplementarios.


      • Los ángulos c y b son suplementarios.


      • Los ángulos a y d son suplementarios


        118

        Por estas razones, se pueden establecer la siguiente igualdad:


        𝑏 + 𝑐 = 180°

        image

        Si c = 125°


        𝑏 + 125° = 180°


        𝑏 = 180° − 125°


        𝑏 = 55°


        Con estos datos, también podemos asumir los valores de los ángulos d y a:


        𝑑 = 55°


        119

        𝑎 = 125°

        120

        image

        image

        Actividad de aprendizaje U4-A25

        image



        De la siguiente figura, calcula el valor del ángulo a, si el valor del ángulo b = 40°.


        image


        a) 120°

        b) 50°

        c) 140°

        d) 40°

        Notas del estudiante










        Observaciones académicas


        image


        image

        image

        Explicación integradora

    4. Conversión de grados a radianes y viceversa.


Ya que vimos cómo calcular un ángulo a partir de otros. Ahora veremos otras maneras de medir los ángulos además de los grados: los radianes.

Existe una equivalencia entre ángulos y radianes, y es la siguiente:

𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 180 °

Dado que el valor de 𝜋 se puede redondear a 3.1416, se puede decir que 3.1416 radianes equivalen a 180°, por lo que podemos hacer una regla de tres y redondear el valor de un radián:

1 𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛 = 57.3°


Con esa equivalencia podemos convertir grados a radianes y radianes a grados.


Grados a radianes:


Para convertir grados a radianes, se dividen los radianes dados entre 57.3: Convierte 110° a radianes.

110

image

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 57.3 = 1.2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠


Radianes a grados:


Para convertir radianes a grados, se multiplican los radianes por 57.3: Convierte 1.8 radianes a grados.

121

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = (1.8)(57.3) = 103.14°

122

image

image

Actividad de aprendizaje U4-A26

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Calcula cuántos grados son 5 radianes


a) 15.7 °

b) 900 °

c) 180 °

d) 286.5 °

Notas del estudiante























Observaciones académicas


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image

image

Explicación integradora

    1. Teorema de Pitágoras.


      Para triángulo con un ángulo recto que mide 90°, Pitágoras estableció un teorema dado por una fórmula que enuncia que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

      Resultado de imagen para triangulo rectangulo

      Los catetos son la base y altura del triángulo rectángulo, y la hipotenusa es el lado más largo en diagonal.

      ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2

      Podemos establecer un triángulo rectángulo donde los catetos sean a y b, y la hipotenusa sea c:


      image

      Por lo que la fórmula del Teorema de Pitágoras quedará como:

      𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

      Si despejamos el Teorema de Pitágoras, podemos obtener tres fórmulas para calcular cada uno de los lados del triángulo rectángulo:


      image

      𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2


      Cuando tenemos las medidas de los dos catetos, pero desconocemos el valor de la hipotenusa.


      image

      𝑎 = 𝑐2 − 𝑏2


      image

      𝑏 = 𝑐2 − 𝑎2


      123

      Cuando tenemos la medida de uno de los catetos y la hipotenusa, y nos hace falta la medida del otro cateto.

      image

      Ejemplo 1:


      Calcula el valor de la hipotenusa c para el siguiente triángulo rectángulo:


      image


      Solución image

      Ya que el problema nos da los datos de 𝑎 = 12 𝑐𝑚 y 𝑏 = 21 𝑐𝑚, podemos calcular c

      simplemente sustituyendo en la fórmula:


      image

      𝑐 = 122 + 212


      image

      𝑐 = √144 + 441


      image

      𝑐 = √585


      𝑐 = 24.18 𝑐𝑚


      124

      En la fórmula, para calcular c, siempre se efectúa una suma dentro de la raíz.

      125

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U4-A27

      image



      Una escalera de 10 m de largo se coloca a 6 m de la pared. ¿Qué altura se puede alcanzar?


      Notas del estudiante






















      Observaciones académicas


      1. 4 m

      2. 6 m

      3. 8 m

      4. 10 m

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      image

      image

      Explicación integradora

    2. Razones trigonométricas.


      Debido a que no existe ninguna operación básica para relacionar los ángulos con los lados de los triángulos, surgen las relaciones trigonométricas, que son operadores de valores establecidos a partir de un círculo unitario en un plano cartesiano.

      Las funciones trigonométricas de un ángulo dado (ángulo de referencia), son las siguientes, a partir del siguiente triángulo rectángulo:


      image


      image

      Seno del ángulo: 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑎

      𝑐


      image

      Coseno del ángulo: 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑏

      𝑐


      image

      Tangente del ángulo: 𝑡𝑎𝑛𝐴 = 𝑎

      𝑏


      image

      Cosecante del ángulo: 𝑐𝑠𝑐𝐴 = 𝑐

      𝑎


      image

      Secante del ángulo: 𝑠𝑒𝑐𝐴 = 𝑐

      𝑏


      image

      Cotangente del ángulo: 𝑐𝑜𝑡𝐴 = 𝑏

      𝑎


      126

      Ya que nos han dado un ángulo de referencia, aquí podemos nombrar a los catetos con respecto a ese ángulo: al cateto b se le nombrará cateto adyacente, pues es adyacente al ángulo de

      image

      referencia; y al cateto a se le nombrará cateto opuesto, porque es opuesto al ángulo de referencia.

      Con estas funciones trigonométricas, podemos calcular solamente con un lado y un ángulo de referencia.

      Para poder hacerlo en la calculadora científica, se debe de revisar que esté expresando los ángulos en grados o radianes, dependiendo del caso que pida el problema.

      De estas funciones, regularmente sólo se utilizan tres: seno, coseno y tangente, pues como se puede analizar, las otras tres son las recíprocas (inversas) a las primeras.

      image

      Por lo tanto, con las tres relaciones trigonométricas a utilizar, podemos usarlas de la manera que se indica en la siguiente tabla (a partir de un ángulo A de referencia):


      Si el problema da…

      Y pide calcular…

      Se utiliza:

      c

      a

      𝑎 = (𝑐)(𝑠𝑒𝑛𝐴)

      b

      𝑏 = (𝑐)(𝑐𝑜𝑠𝐴)


      a

      b

      𝑎

      𝑏 = 𝑡𝑎𝑛𝐴

      c

      𝑎

      𝑐 = 𝑠𝑒𝑛𝐴


      b

      a

      𝑎 = (𝑏)(𝑡𝑎𝑛𝐴)

      c

      𝑏

      𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝐴


      image

      image

      Ejemplo:


      127

      Para el siguiente triángulo rectángulo, calcula los lados que faltan.

      image


      image

      Solución


      A partir de la tabla de guía, podemos observar que nos dan el valor de c¸ es decir, de la hipotenusa. Ya que nos piden los valores de a y b, usaremos las fórmulas indicadas para cada caso.

      Para calcular a:


      𝑎 = (𝑐)(𝑠𝑒𝑛𝐴) = (25 𝑐𝑚)(𝑠𝑒𝑛30°) = (25 𝑐𝑚)(0.5)


      𝑎 = 12.5 𝑐𝑚


      Para calcular b:


      𝑏 = (𝑐)(𝑐𝑜𝑠𝐴) = (25 𝑐𝑚)(𝑐𝑜𝑠30°) = (25 𝑐𝑚)(0.866)


      𝑏 = 21.65 𝑐𝑚


      128

      En ambos casos, se tiene que tener cuidado en la calculadora científica y verificar que lo que se calculará se encuentra en grados y no en radianes.

      129

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      image

      Actividad de aprendizaje U4-A29

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      image



      Calcula el valor del cateto opuesto a para el siguiente triángulo rectángulo.


      image


      d) 11.54 cm

      Notas del estudiante














      Observaciones académicas


      1. 5 cm

      2. 8.66 cm

      3. 20 cm


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      image

      Explicación integradora

    3. Ley de Senos.


      La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

      Para el siguiente triángulo oblicuo:


      𝑎

      image

      =

      𝑠𝑒𝑛𝐴

      𝑏

      image

      =

      𝑠𝑒𝑛𝐵

      𝑐

      image

      𝑠𝑒𝑛𝐶


      https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines/law-of-sines-image015.gif

      A partir de este punto, podemos establecer la relación que tienen entre sí los ángulos internos de un triángulo: la suma de sus tres ángulos internos es igual a 180°, es decir:

      𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°



      La Ley de Senos es una ecuación con tres miembros, por lo que solamente se deben de tomar dos de ellos y despejar el término de interés.


      130

      Sin embargo, sin necesidad de realizar despeje alguno, podemos deducir la forma en que obtendremos el resultado a partir del siguiente análisis.


      image

      Ejemplo:

      b

      Calcula el lado b del siguiente triángulo.

      image

      Solución


      La forma que usaremos para calcular el lado faltante, podemos realizarla de la siguiente manera:

      Tomamos el valor del lado que nos da el problema. En este caso es a, y su valor es de 45 m.


      Ese valor lo multiplicaremos por el seno del ángulo más cercano que tenemos, es decir, el ángulo que mide 20°.

      Por último, el resultado se divide entre el seno del ángulo opuesto al lado que nos dieron. Es decir, si nos dieron el lado a, dividimos entre el ángulo A (que es el opuesto al lado a, es decir, está “frente” a él). Lo podemos identificar porque, de los dos ángulos dados, es el “más lejano”. En este caso, mide 30°.

      Por lo que:



      𝑏 =

      (45 𝑚)(𝑠𝑒𝑛20°)

      image

      𝑠𝑒𝑛30°


      Calculamos los valores para seno de 20° y seno de 30°



      𝑏 =

      (45 𝑚)(0.342)

      image

      0.5


      𝑏 =

      15.39

      image

      0.5


      131

      𝑏 = 30.78 𝑚



      image

      Esta manera de análisis es poco convencional, pero ya que la Ley de Senos es una proporción, la tomamos como una especie de “regla de tres” cuando se trata de calcular alguno de los lados, a partir de otro lado y dos ángulos.

      132

      Por otro lado, podemos analizar que, entre más grande (más “abierto”) sea el ángulo, el lado que le corresponde es más grande. Lo podemos observar porque al lado a de 45 m, le corresponde un ángulo de 30°, por lo que asumimos que al ángulo B de 20°, le corresponderá un lado menor, y al calcularlo, corroboramos la afirmación.

      133

      image

      image

      Actividad de aprendizaje U4-A29

      image

      image



      Para el siguiente triángulo, calcula el valor del lado c


      image


      a) 150 cm

      b) 184.3 cm

      c) 194.1 cm

      d) 126.6 cm

      Notas del estudiante














      Observaciones académicas



      image

      image

      Explicación integradora

    4. Ley de Cosenos.


La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas. En este caso, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de cosenos establece:



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𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏(𝑐𝑜𝑠𝐶)


Lo que es una adaptación al Teorema de Pitágoras, para un ángulo mayor a 90°.


Ejemplo:


Calcula el valor del lado c para el siguiente triángulo:


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Solución image

Utilizar la Ley de Cosenos es tan sencillo como sustituir datos en la fórmula, conociendo los valores de a, b y el ángulo C, que en este caso son 20 cm, 17 cm y 105°, respectivamente.


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134

𝑐 = √(20)2 + (17)2 − 2(20)(17)(𝑐𝑜𝑠105°)

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Comenzamos por elevar al cuadrado los valores de a y b, multiplicar la parte de 2ac, que en este caso es (2)(20)(17), y calcular el coseno de 105° (importante que la calculadora esté en grados).


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𝑐 = √400 + 289 − (680)(−0.258)



En el caso de que el ángulo del que se calcula el coseno sea mayor a 90°, el resultado obtenido es negativo, por lo que, al multiplicarse por el signo negativo que de por sí tiene la fórmula, esa parte queda positiva.

image

𝑐 = √689 + 175.44


image

𝑐 = √864.44


𝑐 = 29.46 𝑐𝑚


135

Al igual que en la Ley de Senos, podemos analizar que tiene sentido que el valor de c sea mayor que el valor de a y de b, pues el ángulo es mayor. Esto se asume, aunque no nos den los demás ángulos, porque por sí solo el ángulo C representa más de la mitad de lo que tienen que sumar los tres ángulos.

136

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Actividad de aprendizaje U4-A30

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Calcula el valor del lado c para el siguiente triángulo.


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  1. 15 cm

  2. 32 cm

  3. 50 cm

  4. 20 cm

Notas del estudiante














Observaciones académicas


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QUINTA UNIDAD PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA


Módulo IV. MATEMÁTICAS

Asignaturas

UNIDADES

Unidad 1.

Aritmética

Unidad 2.

Álgebra

Unidad 3.

Geometría Analítica

Unidad 4.

Trigonometría

Unidad 5.

Probabilidad y Estadística


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Objetivos específicos

Nos encontramos aquí


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¿Qué vamos a aprender? image


137

Utilizaremos gráficas, tablas, medidas de tendencia, podremos hacer estadísticas, y probabilidades de eventos sencillos como el lanzamiento de un dado, una rifa, un sorteo, también calcular promedios, por ejemplo, de nuestras calificaciones, nuestros ingresos, nuestros egresos, etc.


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Explicación integradora

    1. Tablas y gráficas.


      La estadística es la rama de las matemáticas que estudia la variabilidad, así como el proceso aleatorio que la genera siguiendo leyes de probabilidad.

      En esta unidad analizaremos datos no agrupados y cómo se distribuyen en tablas y gráficas. Ejemplo:

      Realiza una tabla y una gráfica de frecuencias con los siguientes datos de las calificaciones del tercer parcial de historia un grupo de 25 alumnos:

      8, 6, 8, 9, 8, 10, 10, 5, 8, 6, 9, 10, 8, 6, 10, 6, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10


      Calificación

      Frecuencia

      5

      3

      6

      4

      7

      1

      8

      7

      9

      4

      10

      6

      Total

      25

      Solución image

      Para agrupar datos en una tabla de frecuencias, primero se coloca el valor de cada dato, que en este caso son las calificaciones que hay (5, 6, 7, 8, 9, 10), poniéndolas en una columna. En la otra columna, que se titulará “frecuencia”, se escribe cuántas veces se repite ese dato. Por ejemplo, en la primera columna, se comenzaría con el 5, y se contará cuántas veces se repite, que en este caso es 3 veces:


      image

      138

      Para representar estos datos en una gráfica, sobre el eje horizontal se colocan los valores de los datos, en este caso las calificaciones, y sobre el eje vertical se mide la frecuencia:


      image

      image

      Explicación integradora

    2. Medidas de tendencia central para datos no agrupados.


Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que pretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: media, mediana y moda.

En este tema aprenderemos cómo encontrar y calcular cada medida, pero primero se tienen que definir:

Media aritmética: medida de tendencia central más conocida y utilizada es la media aritmética o promedio aritmético.

Mediana: es el valor de la variable que ocupa la posición central, cuando los datos se disponen en orden de magnitud.

Moda: se define como el valor de la variable que más se repite. Veamos como ejemplo el ejercicio de la sección anterior:


Calcula las medidas de tendencia central para las calificaciones del tercer parcial de historia un grupo de 25 alumnos:

8, 6, 8, 9, 8, 10, 10, 5, 8, 6, 9, 10, 8, 6, 10, 6, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10


Solución image

Primero, se ordenan los datos de menor a mayor:


5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10


139

Primero podemos encontrar la mediana que está representada por el número que se encuentra en la posición central del grupo de datos:

5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

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En este caso, ese 8 representa la mediana porque se encuentra justo en medio de los datos, pues tiene 12 datos de un lado y 12 datos del otro lado.

Para encontrar la moda, se busca cuál es el dato que más se repite, que en este caso, también es el 8, pues se repite 7 veces.

Por último, se calcula la media aritmética, sumando todos los valores de los datos y dividiendo entre el número de datos:


𝑥̅ =

5 + 5 + 5 + 6 + 6 … + 10 + 10

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25


𝑥̅ =

198

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25


𝑥̅ = 7.92


140

Por lo tanto, el promedio del grupo lo representa la media aritmética, que es 7.92

141

Actividad de aprendizaje U5-A31

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Un grupo obtuvo las siguientes calificaciones en el examen de Historia:


8, 9, 8, 10, 8, 7, 10, 6, 8, 10, 7


Selecciona la opción que contiene la mediana, la moda, la media aritmética y la gráfica correcta de las calificaciones.


a)

Mediana = 8

Moda = 8

Media = 8.3

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b) Mediana = 8

Moda = 7

Media = 7.8


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image

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Explicación integradora

    1. Tendencia central Variabilidad: rango.


      142

      Se define el rango o recorrido de una variable estadística como la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. El rango indica la longitud del intervalo en el que se hallan todos los datos de la distribución. El rango es una medida de dispersión importante aunque insuficiente para valorar convenientemente la variabilidad de los datos.


      image

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      Explicación integradora

    2. Medidas de posición para datos no agrupados.


      Las Medidas de Posición, también conocidas como Otras Medidas de Dispersión, son otras medidas o métodos que resultan ser más prácticos para precisar ciertas situaciones en las que se busca describir la variación o dispersión en un conjunto de datos.

      Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

      Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

      Las fórmulas para cada una de las medidas de posición, así como ejercicios prácticos para calcularlas, se mostrarán con detalle en la siguiente sección.

      143

      Las medidas de posición son: cuartiles, deciles y percentiles.


      image

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      Explicación integradora

    3. Cuartiles, deciles y percentiles.


      Cuartiles (Q): los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

      Los cuartiles 1 (Q1), 2 (Q2) y 3 (Q3) determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

      Q2 coincide con la mediana. Explicado de otra manera:

      El primer cuartil (Q1) es el valor de la variable que supera a lo más el 25 % de los datos y es superado por a lo más el 75 % de ellos en la distribución ordenada de menor a mayor.


      cuartil_Q1.jpg (204×68)


      El segundo cuartil (Q2) es un valor que supera a lo más el 50 % de los datos y es superado por a lo más el 50 % de ellos, es decir, Q2 coincide con la mediana.


      cuartil_Q2.jpg (204×68)


      El tercer cuartil (Q3) es un valor que supera a lo más al 75 % de los datos y es superado por a lo más el 25 % de ellos.


      cuartil_Q3.jpg (204×68)


      Cálculo de los cuartiles


      144

      1. Ordenamos los datos de menor a mayor.


      2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión:

      image

      image

      𝑄𝑘 =

      𝑘 𝑁 4

      Donde k es el cuartil que se quiere calcular (1, 2 o 3), y N es el número de datos en el grupo.


      Deciles: son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.


      Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%, etc, y hasta al 90% de los datos. D5 coincide con la mediana y con Q2.

      Cálculo de deciles:


      1. Ordenamos los datos de menor a mayor.


      2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión:


      image

      𝐷𝑘 =

      𝑘 𝑁 10


      Donde k es el decil que se quiere calcular (1, 2, 3,… 9), y N es el número de datos en el grupo.

      Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P50 coincide con la mediana, con Q2 y con D5.

      Cálculo de percentiles:


      1. Ordenamos los datos de menor a mayor.


      2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión:


      𝑘 𝑁

      image

      𝑃𝑘 = 100

      145

      Donde k es el percentil que se quiere calcular (1, 2, 3,… 99), y N es el número de datos en el grupo.

      Ejemplo:

      image

      Dado el siguiente conjunto de datos: 2 ; 5 ; 9 ; 3 ; 13 ; 10 ; 11 ; 6 ; 7. ¿Cuál es el valor del tercer cuartil?

      Solución image

      1. Ordenamos los datos de menor a mayor:


        2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13


        Ya que son 9 datos, en la fórmula usaremos N = 9.


      2. Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula. Para el tercer cuartil se usará un valor de k = 3:


      𝑄3 =

      (3)(9)

      image

      4 =

      27

      image

      4 = 6.75


      Ya que Q3 = 6,75, tomamos en cuenta que en caso de ser un número decimal se aproxima al entero más cercano superior, que sería 7, ese valor indica la posición del cuartil 3.

      En nuestro caso el 7° valor sería:


      2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13


      Por lo que el valor del tercer cuartil es 10.


      146

      El mismo procedimiento aplica para calcular deciles o percentiles, sólo cambiamos la fórmula a usar, ya sea para deciles o para percentiles.


      image

      image

      Explicación integradora

    4. Medidas de posición.


      En esta sección analizaremos las equivalencias que existen entre las medidas de posición. En el caso de los percentiles se mencionó la primera equivalencia, que es la más común:

      𝑃50 = 𝐷5 = 𝑄2 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎


      Es decir que el número que corresponde al percentil 50 es el mismo que corresponde al decil 5, al cuartil 2 y a la mediana, y todas representan el dato que se encuentra por encima del 50% de los datos de menor valor y debajo del 50% de los datos de mayor valor.

      Bajo esta lógica, podremos encontrar las equivalencias para cada caso:

      𝐷1 = 𝑃10

      𝐷2 = 𝑃20

      𝑄1 = 𝑃25

      𝐷3 = 𝑃30

      𝐷4 = 𝑃40

      𝐷5 = 𝑃50 = 𝑄2 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎

      𝐷6 = 𝑃60

      𝐷7 = 𝑃70

      𝑄3 = 𝑃75

      𝐷8 = 𝑃80

      147

      𝐷9 = 𝑃90

      148

      image

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      Actividad de aprendizaje U5-A32

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      Selecciona la opción cuyas afirmaciones son todas correctas:


      a) 𝑃40 = 𝐷4

      𝑃50 = 𝐷6

      𝑃10 = 𝑄1


      b) 𝑃40 = 𝐷4

      𝑃50 = 𝑄2

      𝑃70 = 𝐷7


      c) 𝑃20 = 𝐷4

      𝑃60 = 𝐷7

      𝑃40 = 𝐷4


      d) 𝑄1 = 𝐷4

      𝑃2 = 𝐷4

      𝑃45 = 𝑄3

      Notas del estudiante













      Observaciones académicas



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      Explicación integradora

    5. Rango intercuartílico.


      El rango intercuartílico es una medida de dispersión, la cual se basa en el rango de los datos que están entre los cuartiles 1 y 3, calculando su diferencia. Es decir que el rango intercuartílico (RIQ) se puede calcular de la siguiente manera:


      RIQ = Q3 - Q1


      Para poder calcularlo, se requiere calcular previamente los cuartiles 1 y 3, lo cual lo podemos hacer de la siguiente manera en el ejemplo que se muestra a continuación:


      Calcula el Rango Intercuartílico del siguiente grupo de datos:

      3, 2, 8, 4, 20, 18, 13, 16, 7


      Para empezar, siempre debemos tener el grupo de datos ordenado de menor a mayor:


      2, 3, 4, 7, 8, 13, 16, 18, 20


      Y en el grupo ordenado, debemos de partirlo en dos partes iguales: si el grupo tiene una cantidad impar de datos (como en este ejemplo), se quita la mediana. Si el grupo tiene una cantidad par de datos, simplemente se divide en dos partes iguales, como si fueran dos subgrupos.


      2, 3, 4, 7 8 13, 16, 18, 20


      Ahora encontramos la mediana de cada subgrupo: la mediana del primer grupo será el cuartil 1 (Q1) y la mediana del segundo grupo será el cuartil 3 (Q3).


      Para el primer subgrupo:


      2, 3, 4, 7

      La mediana es 3.5. Esto es el cuartil 1 (Q1)


      Para el segundo subgrupo:


      13, 16, 18, 20

      La mediana es 17. Esto es el cuartil 3 (Q3)


      149

      Por lo tanto, el Rango Intercuartílico será:


      RIQ = 17 - 3.5 = 13.5

      150

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      Actividad de aprendizaje U5-A33

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      Para el siguiente grupo de datos, calcula el rango intercuartílico:

      5, 8, 1, 6, 9, 12, 11, 15, 9


      Notas del estudiante





















      Observaciones académicas


      1. 6

      2. 7

      3. 8

      4. 9


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      Explicación integradora

    6. Conceptos básicos de probabilidad y probabilidad de eventos simples.


      En esta sección, comenzamos con el tema de probabilidad, por lo que definiremos su concepto: La probabilidad es simplemente qué tan posible es que ocurra un evento determinado.

      Cuando no estamos seguros del resultado de un evento, podemos hablar de la probabilidad de ciertos resultados: qué tan común es que ocurran.

      Ahora analizaremos algunos conceptos adicionales importantes para comprender la probabilidad.

      Experimentos o fenómenos aleatorios: son aquellos en los que no se puede predecir el resultado.

      Experimento o fenómeno determinista: son aquellos en los que se puede predecir el resultado. Espacio muestral: es el conjunto de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

      Suceso aleatorio: es un elemento del espacio muestral.


      El mejor ejemplo para entender la probabilidad es tirar una moneda al aire (echar un volado): Hay dos posibles resultados: águila o sol.

      ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila?


      La podemos encontrar al usar la ecuación la probabilidad, y tal vez, intuitivamente, sepas que la probabilidad es mitad y mitad, o sea 50%. ¿Pero cómo podemos resolver eso?

      Fórmula para calcular probabilidad (en porcentaje):


      𝑃 =

      𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑜𝑡𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

      image

      151

      𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 (100%)

      image

      En este caso, tomamos el número de sucesos del espacio muestral como 2, pues son las posibilidades que existen, y el número de sucesos aleatorios que nos favorecen será 1, pues sólo 1 de esos dos lados tiene el águila.


      Por lo que, al sustituir, se obtiene que:


      𝑃 =

      1

      image

      (100%) = 50%

      2



      Veamos un ejemplo para calcular probabilidad en un evento simple:


      Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas.

      ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una fruta al azar, sea una manzana?


      Solución image

      Comenzamos determinando el espacio muestral, representado en este ejemplo por el total de frutas que hay en la canasta, es decir, 30.

      Ahora, analizamos los sucesos aleatorios favorables, es decir, el número de manzanas en la canasta, es decir, 10.

      Se sustituyen en la fórmula:


      𝑃 =

      10

      image

      (100%) = 33.3 %

      152

      30

      153

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      Actividad de aprendizaje U5-A34

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      Juan está tramitando su cartilla militar, por lo que, de una tómbola con bolas blancas y negras, se seleccionará una para saber de qué manera se le liberará su cartilla. Si la tómbola tiene 50 bolas blancas y 7 bolas negras ¿cuál es la probabilidad de que a Juan le toque bola negra?


      a) 10 %


      b) 14 %


      c) 16 %


      d) 12 %

      Notas del estudiante


















      Observaciones académicas


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      Explicación integradora

    7. Técnicas básicas de conteo a problemas simples.


      Las Técnicas de conteo son utilizadas en Probabilidad y Estadística para determinar el número total de resultados.

      En esta sección analizaremos la más sencilla.


      Principio de multiplicación:


      Si un evento E puede ocurrir de m formas, e independiente de este evento un evento F puede ocurrir de n formas, entonces los eventos juntos pueden ocurrir un total de (𝒎)(𝒏) formas.


      Ejemplo:


      Supongamos que un restaurant ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida?


      Solución image

      Se aplica la el principio de multiplicación, simplemente calculando el producto del número de entradas, por el número de platos principales y por el número de postres:

      154

      (𝟒 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔)(𝟓 𝒑𝒍𝒂𝒕𝒐𝒔)(𝟐 𝒑𝒐𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔) = 𝟒𝟎 𝒄𝒐𝒎𝒃𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

      155

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      Actividad de aprendizaje U5-A35

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      Un adolescente irá a una fiesta, pero en su guardarropa tiene 4 pares de zapatos, 5 camisas y 3 pantalones ¿Cuántas combinaciones puede realizar con esas prendas?

      a) 12

      b) 120

      c) 60

      d) 6

      Notas del estudiante


























      Observaciones académicas



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      Explicación integradora

    8. Regla del producto y regla de la suma.


Cuando la probabilidad deja de ser simple, se usa la regla del producto o la regla de la suma, dependiendo del caso específico.

A continuación se describirán ambas reglas y veremos ejemplos para cada caso.


Regla de la suma


Esta regla se utiliza cuando las probabilidades individuales de dos o más sucesos aleatorios son favorables a las condiciones establecidas.

Ejemplo:


Calcula la probabilidad de que, al tirar un dado, el resultado sea un 1 o un 5:


Solución image

Se calcula la probabilidad para cada uno de los números, aunque podemos asumir que, como ambos tienen la misma probabilidad de caer, para ambos será la misma:


𝑃 =

1

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(100) = 16.66%

6


Ya que para que caiga tanto un 1 como un 5, la probabilidad es de 16.66%, éstas se suman:

156

𝑃 = 16.67 + 16.67 = 33.37%

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Regla del producto


A diferencia de la regla de la suma, la regla del producto cuando se requiere llevar a cabo más de un suceso aleatorio. Es decir, es necesario repetir para obtener más combinaciones.

Para estos casos, la probabilidad se multiplica el número de veces que este suceso tenga que llevarse a cabo.

Ejemplo:


Calcula la probabilidad de que al tirar un dado 4 veces, en todas las ocasiones el resultado sea 1 o 2.


Solución image

image

En la regla del producto, las probabilidades de cada tiro se tienen que multiplicar, es decir, para el primer tiro se tiene una probabilidad de 𝑃 = 2, para el segundo es igual, y se repite para los

6

tiros 3 y 4. Por lo tanto:

2

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𝑃 = ( ) (

6

2 2

image

image

) ( ) ( 6 6

2

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) (100) =

6

1600

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1296

= 1.23%


157

Regularmente, con la regla del producto nos percatamos que, entre más sean los tiros del dado, la probabilidad disminuye considerablemente.

158

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Actividad de aprendizaje U5-A36

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¿Cuál es la probabilidad de que, al tirar un volado, caiga cinco veces seguidas águila?


a) 50%

b) 10%

  1. 3 %

  2. 0 %

Notas del estudiante


























Observaciones académicas


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159

  1. Aritmética.

    FORMULARIOS.


    Fracciones

    Multiplicación de fracciones

    𝑎 𝑐 𝑎𝑐 ( ) ( ) =

    𝑏 𝑑 𝑏𝑑

    División de fracciones

    𝑎 𝑐 𝑎𝑑

    ÷ =

    𝑏 𝑑 𝑏𝑐

    Suma o resta de dos fracciones:

    Con el mismo denominador

    𝑎 𝑐 𝑎 + 𝑐

    𝑏 + 𝑏 = 𝑏

    Con denominador diferente

    𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

    𝑏 + 𝑑 = 𝑏𝑑

    Proporciones y porcentajes:

    Proporciones directas, con x como

    incógnita

    𝑎 𝑦

    𝑏 = 𝒙

    𝑏𝑦

    𝑥 = 𝑎

    Porcentaje:

    Calcular el tanto por ciento de una

    cantidad a dada

    %

    (𝑎) ( ) 100

    Calcular el porcentaje que representa

    una cantidad a de otra cantidad total b

    𝑎

    ( ) (100%)

    𝑏

    image

    image

    160

  2. Álgebra.


    Productos notables

    Binomio al cuadrado

    (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

    Binomios conjugados

    (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

    Ecuaciones de segundo grado

    Fórmula general, para la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0


    image

    −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

    𝑥 = 2𝑎

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    161

  3. Geometría analítica.


    Para dos puntos dados

    𝐴(𝑥1, 𝑦1)

    𝐵(𝑥2, 𝑦2)

    Distancia entre dos puntos


    image

    𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

    Punto Medio

    𝑥1 + 𝑥2

    𝑥 = 2


    𝑦1 + 𝑦2

    𝑦 = 2

    Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen

    𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑎

    Para calcular la pendiente

    𝑦2 − 𝑦1

    𝑚 = 𝑥 − 𝑥

    2 1

    Para calcular la ordenada al origen

    𝑎 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1

    image

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    162

  4. Trigonometría.


    Triángulos semejantes. Para dos

    triángulos con lados a, b, c y a’, b’, c’, y ángulos A, B, C y A’, B’, C’, en los que 𝐴 = 𝐴′, 𝐵 = 𝐵′ y 𝐶 = 𝐶′:

    𝑎 𝑏 𝑐

    = =

    𝑎′ 𝑏 𝑐

    Ángulos

    Para ángulos complementarios A

    y B

    𝐴 + 𝐵 = 90°

    Para ángulos suplementarios A y

    B

    𝐴 + 𝐵 = 180°

    Para convertir grados a radianes

    𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

    𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 57.3

    Para convertir radianes a grados

    𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)(57.3)

    Teorema de Pitágoras

    Para un triángulo rectángulo de

    hipotenusa c y catetos a y b


    image

    Para calcular c


    image

    𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2

    Para calcular a


    image

    𝑎 = 𝑐2 − 𝑎2

    Para calcular b


    image

    𝑏 = 𝑐2 − 𝑏2

    163

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    image

    Funciones trigonométricas. Para

    un triángulo rectángulo de hipotenusa c con un ángulo A de referencia, cateto opuesto a y

    cateto adyacente b


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    Seno del ángulo

    𝑎

    𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑐

    Coseno del ángulo

    𝑏

    𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑐

    Tangente del ángulo

    𝑎

    𝑡𝑎𝑛𝐴 =

    𝑏

    Cosecante del ángulo

    𝑐

    𝑐𝑠𝑐𝐴 = 𝑎

    Secante del ángulo

    𝑐

    𝑠𝑒𝑐𝐴 = 𝑏

    Cotangente del ángulo

    𝑏

    𝑐𝑜𝑡𝐴 = 𝑎

    Despejando las fórmulas principales

    Si el problema da…

    Y pide calcular…

    Se utiliza:

    c

    a

    𝑎 = (𝑐)(𝑠𝑒𝑛𝐴)

    b

    𝑏 = (𝑐)(𝑐𝑜𝑠𝐴)


    A

    b

    𝑎

    𝑏 = 𝑡𝑎𝑛𝐴

    c

    𝑎

    𝑐 = 𝑠𝑒𝑛𝐴


    b

    a

    𝑎 = (𝑏)(𝑡𝑎𝑛𝐴)

    c

    𝑏

    𝑐 =

    𝑐𝑜𝑠𝐴

    Ley de Senos

    image

    164

    Para un triángulo oblicuo de lados a, b

    y c, con ángulos A, B y C, donde C es mayor a 90°:


    https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines/law-of-sines-image015.gif


    𝑎 𝑏 𝑐


    image image image

    𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 𝑠𝑒𝑛𝐶


    Teniendo en cuenta que

    𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°


    Ley de Cosenos

    Para un triángulo oblicuo de lados a, b y c,

    con ángulos A, B y C, donde C es mayor a 90° (aplica la misma figura del triángulo oblicuo del anterior):


    image

    𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏(𝑐𝑜𝑠𝐶)

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    image

    image

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    image

    165

  5. Estadística y Probabilidad.


Medidas de tendencia central


Mediana: El dato que divide en dos el

grupo

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

𝑥̅ = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

Moda: el dato más repetido del grupo

Media aritmética

Cuartiles


Para calcular la posición del cuartil k

𝑘 𝑁

𝑄𝑘 = 4

Deciles


Para calcular la posición del decil k

𝑘 𝑁

𝐷𝑘 = 10

Percentiles


Para calcular la posición del percentil k

𝑘 𝑁

𝑃𝑘 = 100

Rango intercuartílico

𝑅𝐼𝑄 = 𝑄3 − 𝑄1

166

image

Probabilidad

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑜𝑡𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑃 = (100%)

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Principio de multiplicación

para conteo. Si un evento E puede ocurrir de m formas, e independiente de este

evento un evento F puede ocurrir de n formas, entonces los eventos juntos

pueden ocurrir


𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = (𝑚)(𝑛)

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image

SOLUCIÓN DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE


U1- A1 Respuesta Inciso a)

Solución image

Planteando como una expresión este problema, queda de la siguiente manera:

(180)(5) + (150)(3) + (250)(6)


Donde:


(180)(5) representa la multiplicación de los días que trabajó Apolinar por su sueldo diario, lo que nos resultará en lo que ganó en su semana: $900

(150)(3) representa la multiplicación de los días que trabajó Erik por su sueldo diario, lo que nos resultará en lo que ganó en su semana: $450

(250)(6) representa la multiplicación de los días que trabajó Graciela por su sueldo diario, lo que resultará en lo que ganó en su semana: $1500


Al resolver las multiplicaciones, la expresión queda:

900 + 450 + 1500 = $2850


167

Por lo que la respuesta correcta es el inciso a. En este ejercicio, la jerarquía de operaciones nos indica en la expresión que, para poder sumar todas las cantidades, primero se tienen que realizar las multiplicaciones.

U1- A2 Respuesta Inciso c)


image

image

Solución


Podemos empezar calculando cuánto cuesta cada juego de fotocopias:


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(14𝑓𝑜𝑡𝑜𝑐𝑜𝑝𝑖𝑎𝑠) (

$0.25

) = $3.50 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑜

𝑓𝑜𝑡𝑜𝑐𝑜𝑝𝑖𝑎


Para resolver, hacemos una resta de los alumnos que pagaron y lo que se tuvo que haber pagado en total:

($3.50)(18) − ($3.50)(25)


$63 − $87.50 = −$𝟐𝟒. 𝟓𝟎


El resultado negativo indica que la profesora no recuperó el total de lo que gastó en fotocopias, faltándole $24.50.


U1- A3 Respuesta Inciso d)


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Solución


Para encontrar cuándo volverán a coincidir los medicamentos, usaremos el mcm de las horas de cada medicamento:


6

8

5

2

3

4

5

2

3

2

5

2

3

1

5

3

1

1

5

5



1



168

𝑚𝑐𝑚(6, 8, 5) = (2)(2)(2)(3)(5) = 120 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

U1- A4 Respuesta Inciso a)


image

image

Solución


Para calcular la cantidad máxima de litros que pueden tener los botes para cada caso, usaremos el MCD de las cantidades de pintura de cada color.


12

24

16

2

6

12

8

2

3

6

4



𝑀𝐶𝐷(12, 14, 16) = (2)(2) = 4 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠


Para la pintura roja, necesitaremos 3 botes. Para la pintura verde, necesitaremos 6 botes. Para la pintura azul, necesitaremos 4 botes.

U1- A5 Respuesta Inciso b)


image

Solución


Tendremos que resolver la siguiente suma de fracciones, donde cada fracción representa la parte de la pista que recorrió cada día:

image

image

image

𝟑 𝟒 𝟕


Se calcula 𝑚𝑐𝑚(4, 5, 8) = 40

𝟒 + 𝟓 + 𝟖


𝟑 𝟒 𝟕

𝟑𝟎 + 𝟑𝟐 + 𝟑𝟓

𝟗𝟕

𝟏𝟕

image

image

image

image

image

image

169

𝟒 + 𝟓 + 𝟖 =

𝟒𝟎 = 𝟒𝟎 = 𝟐 𝟒𝟎

U1- A6 Respuesta Inciso a)


image

image

Solución


Se calcula el porcentaje para cada candidato. Candidato 1:

22,980

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50,000

(100) = 45.96%


Candidato 2:


15,690

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50,000

(100) = 31.38%


Candidato 3:


10,500

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50,000

(100) = 21%


U1- A7 Respuesta Inciso b)


image

Solución


Si analizamos cada letra de la palabra original con respecto al código, deducimos:


170

E = Q S = E T = F A = M B = N A = M

Para descifrar el mensaje, deducimos el resto de letras del alfabeto, tomando como referencia que A = M, B = N, por lo tanto C = O, D = P…


Original


Código


Original



Código

A

M

N

Z

B

N

O

A

C

O

P

B

D

P

Q

C

E

Q

R

D

F

R

S

E

G

S

T

F

H

T

U

G

I

U

V

H

J

V

W

I

K

W

X

J

L

X

Y

K

M

Y

Z

L

image

Por lo tanto:


RGQDFQ = FUERTE


U1- A8 Respuesta Inciso d


image

Solución


Analizaremos cuál es la diferencia entre cada número, restándole al número consecuente el anterior:

5 − 2 = +3

(−1) − 5 = −6


8 − (−1) = +9

(−4) − 8 = −12

171

11 − (−4) = +15

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Podemos observar que entre la diferencia cada número y el siguiente, la diferencia es de 3, pero vamos cambiando el signo entre un valor y otro, por lo que a los dos números siguientes se les aplicarán las operaciones de −18 y de +21

Ya que el último número es 11, el siguiente será:

11 − 18 = −7


Y para calcular el último, se tendrán que sumar 21:

−7 + 21 = 14


Por lo que la serie queda:

2, 5, −1, 8, −4, 11, −𝟕, 𝟏𝟒


U2- A9 Respuesta Inciso b)


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Solución


Analicemos por partes en enunciado:


A la mitad de un número a


se escribe como:

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𝑎 2


se le resta el cuádruple de un número b


agregamos 4b, a manera de resta:


𝑎

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− 4𝑏

2


y el resultado es el número z al cuadrado


172

ya que menciona el resultado, colocamos el signo de igual, seguido de z al cuadrado:

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𝑎 − 4𝑏 = 𝑧2

2

U2- A10 Respuesta Inciso a)


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image

Solución


Para calcular el área de un terreno, tenemos que multiplicar el ancho por el largo. Ya que no conocemos los valores ni del largo ni del ancho, podemos decir que el ancho es a¸ y como sabemos, el largo es el doble de a más 7 metros, por lo que podemos expresarlo como 2a+7:


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Para calcular el área, sólo se multiplican ambas expresiones, multiplicando el largo por el ancho:

𝐴 = (𝑎)(2𝑎 + 7) = 𝟐𝒂𝟐 + 𝟕𝒂


U2- A11 Respuesta Inciso c)


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Solución


Teniendo la fórmula para desarrollar un binomio al cuadrado:


(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

que nos indica que el resultado será un trinomio dado por


el primer término elevado al cuadrado más el doble del producto del primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado obteniendo:


Resolviendo operaciones:

(𝑥 − 2)2 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(2) + (2)2


173

(𝑥 − 2)2 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4

U2- A12 Respuesta Inciso d)


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image

Solución


La resolución analítica será:

−8𝑥 + 9 = −15


el 9 pasará al segundo miembro de la ecuación restando:

−8𝑥 = −15 − 9


−8𝑥 = −24


el -8 está multiplicando a x, por lo que pasará dividiendo al 24 al otro lado de la ecuación:

𝑥 = (−24) ÷ (−8)


𝒙 = 𝟑


Realizando la comprobación:

−8(3) + 9 = −15


−24 + 9 = −15


−𝟏𝟓 = −𝟏𝟓


U2- A13 Respuesta Inciso a)


image

Solución


Esta ecuación de segundo grado tiene la forma:


𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0


Por lo que podemos usar la fórmula:


image


Debido a que:

𝑥 =

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

image

2𝑎


174

𝑥2 − 2𝑥 − 15 = 0

image

Se deduce:


Se sustituyen los valores:


𝑥 =


𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = −15


image

−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(−15)

image

2(1)


Se desarrollan las operaciones:


image

𝑥 =

2 ± 4 + 60

image

2


image

𝑥 =

2 ± √64

image

2



Se separan:

𝑥 =

2 ± 8

image

2


𝑥1 =

2 + 8

image

2 =

10

image

2 = 𝟓


𝑥2 =

2 − 8

image

=

2

−6

image

= −𝟑

175

2

U2- A14 Respuesta Inciso b)


image

image

Solución


Ya que tenemos dos cantidades a encontrar, asignamos una incógnita a cada una:

𝑥 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 $5


𝑦 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 $10


Ya que la suma de ambas cantidades resulta en 110, establecemos la primera ecuación:

𝑥 + 𝑦 = 110


La otra ecuación la podemos sacar de la suma total del dinero que tienen, estableciendo que, al multiplicar el número de monedas de $5 por su cantidad x, y sumándole la multiplicación de la cantidad y de monedas de $10, obtendremos un resultado de $800:

5𝑥 + 10𝑦 = 800


Resolvemos el sistema mediante el método de reducción:

𝑥 + 𝑦 = 110 5𝑥 + 10𝑦 = 800

Multiplicamos la primera ecuación por (-5) para eliminar a x:

−5𝑥 − 5𝑦 = −550 5𝑥 + 10𝑦 = 800

_

−5𝑥 + 5𝑥 − 5𝑦 + 10𝑦 = −550 + 880 5𝑦 = 250

𝑦 = 250 ÷ 5


𝒚 = 𝟓𝟎 𝒎𝒐𝒏𝒆𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆 $𝟏𝟎


176

Es decir, tendremos 50 monedas de $10. Ya que sumadas las 2 cantidades dan 110 monedas, las restantes serán de $5:

image

𝑥 = 110 − 50


𝒙 = 𝟔𝟎 𝒎𝒐𝒏𝒆𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆 $𝟓


Podemos comprobar con la otra ecuación

60 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 $5 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑛 $300


50 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 $10 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑛 $500


Por lo tanto, el total será de $800.



U3- A15 Respuesta Inciso d)


image

image

Solución


Si buscamos cada punto dado en el plano cartesiano:


image

Uniendo los puntos:


177

Y la figura es un hexágono.

U3- A16 Respuesta Inciso c)


image

image

Solución


Comenzamos con el punto medio, tomando las fórmulas para calcularlo:

image

𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2

2

image

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2

2


Ya que 𝐴 (5, −1), 𝐵(−7, 5):



Sustituimos:

𝑥1 = 5

𝑥2 = −7

𝑦1 = −1

𝑦2 = 5


𝑥 =

5 + (−7)

image

2 =

image

(−1) + 5

5 − 7

image

2 =

image

image

−1 + 5

−2

image

2 = −1

4


Por lo que el punto medio es:

𝑦 = 2 =

2 = 2 = 2


𝑃. 𝑀. (−1, 2)


Ahora, con los mismos valores, usamos la fórmula para calcular la distancia:


image


Sustituimos:

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2


image

178

𝑑 = (−7 − 5)2 + (5 − (−1))2


image

image

𝑑 = √(−12)2 + (5 + 1)2


image

𝑑 = √(−12)2 + (6)2


image

𝑑 = √144 + 36


image

𝑑 = √180


𝒅 = 𝟏𝟑. 𝟒


U3- A17 Respuesta Inciso b)


image

Solución

179

La ecuación 𝑦 = −𝑥 nos indica que para cada valor negativo de x, obtendremos un valor positivo de y, y para cada valor negativo de y, obtenemos un valor positivo de x, por lo tanto, tabulando estos valores:


Valor de

X

Valor de

Y

-5

5

-4

4

-3

3

-2

2

-1

1

0

0

1

-1

2

-2

3

-3

4

-4

5

-5


image

Colocando estos puntos en una gráfica:


image


180

Si unimos los puntos, la recta quedará:


image

U3- A18 Respuesta Inciso b)


image

image

Solución


En los incisos posibles para esta gráfica, podemos observar que los valores de m y a son prácticamente iguales, pero con signos que cambian de una opción a otra.

Para resolver rápidamente este problema, analizaremos cómo influyen los valores de m y a en la gráfica.


image

Indica que a es positivo

(en este caso es 4)


La recta inclinada hacia la izquierda, indica que la pendiente es negativa.


Es decir, nuestra ecuación tiene que tener el valor de m negativo, y el valor de a positivo. Sólo la opción b) cumple esas características:

181

b) 𝑦 = −5𝑥 + 4

U3- A19 Respuesta Inciso a)


image

image

Solución


La ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen es

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑎

Por lo que, a partir de los datos 𝐴( 1, 4), 𝐵(6, −6)):

𝑥1 = 1

𝑥2 = 6

𝑦1 = 4

𝑦2 = −6


Calculamos la pendiente y la ordenada al origen. Para la pendiente m:

image

𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1


Sustituyendo:



𝑚 =

(−6) − 4

image

6 − 1 =

−10

image

5 = −𝟐



Ahora, usamos la ecuación para calcular a:


𝑎 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1


Sustituyendo:

𝑎 = 4 − (−2)(1) = 4 + 2 = 𝟔


182

Por lo que la ecuación queda

𝑦 = −2𝑥 + 6


U3- A20 Respuesta Inciso a)


image

image

Solución


Debido a que el problema ya nos da el valor de la pendiente m, sólo tenemos que calcular el valor de a, con la fórmula

𝑎 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1

Donde 𝑚 = 3, y con el punto (2, 2):


𝑥1 = 2, 𝑦1 = 2


Sustituyendo:


𝑎 = 2 − (3)(2) = 2 − 6 = −4


Por lo que la ecuación queda:


𝑦 = 3𝑥 − 4


U3- 21 Respuesta Inciso a)


image

Solución


Para solucionar este problema, podremos analizar las gráficas de cada inciso, pues todas tienen características diferentes entre sí de su pendiente y su ordenada al origen.

Nuestra ecuación 𝑦 = 2𝑥 + 4 nos indica que, tanto la pendiente como la ordenada al origen, son positivas.

Analizando la pendiente, observamos que tiene que ser una gráfica cuya recta esté inclinada hacia el lado derecho, formando un ángulo agudo con respecto al eje de x. Solamente los incisos c y d cumplen con estas características, por lo que descartaremos las opciones a y b.

183

Analizando la ordenada al origen, observamos que la recta tiene que “cortar” el eje de las y

(vertical) por un punto positivo (+4). De las opciones restantes, sólo el inciso d cumple con las

image

características, por lo que definimos que la opción correcta está dada por la gráfica del inciso

image

d:


Indica que “a” es positiva

(en este caso es 4)


La recta inclinada hacia la derecha, indica que la pendiente es positiva.


U4- A22 Respuesta Inciso b)


image

Solución


image

Podemos realizar un diagrama que nos indique cómo podemos aplicar la semejanza de triángulos en este ejemplo:

Por lo que el valor de x se calculará con la regla que conocemos


𝑥 =

(5.5)(1.78)

image

1.4 ≈ 𝟕 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔


U4- A23 Respuesta Inciso d)


image

184

Solución